피카르-린델뢰프 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[동역학계 이론]]에서 '''피카르-린델뢰프 정리'''({{llang|en|Picard–Lindelöf theorem}}) 또는 '''피카르 유일성 정리'''({{llang|en|Picard’s uniqueness theorem}}) 또는 '''코시-립시츠 정리'''({{llang|en|Cauchy–Lipschitz theorem}})는 1계 [[상미분 방정식]]의 [[초깃값 문제]]의 해의 존재 및 유일성에 대한 정리이다.

== 정의 ==
[[초깃값 문제]]
:<math>y'(t)=f(t,y(t))</math>
:<math>y(t_0)=y_0</math>
를 생각하자.

=== 립시츠 조건 ===
[[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon[t_0,t_0+a]\times U\to\mathbb R^n</math>가 주어졌고, <math>f</math>가 <math>y</math>에 대하여 [[립시츠 연속 함수]]라고 하자. 즉, 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 실수 <math>L\ge 0</math>가 존재한다고 하자 ('''립시츠 조건''', {{llang|en|Lipschitz condition}}).
:<math>|f(t,y)-f(t,z)|\le L|y-z|\qquad\forall(t,y),(t,z)\in[t_0,t_0+a]\times U</math>
'''피카르-린델뢰프 정리'''에 따르면, 임의의 <math>y_0\in U</math>에 대하여, 위 [[초깃값 문제]]는 어떤 <math>0<\delta\le a</math>에 대하여 유일한 국소적 해 <math>\phi\colon[t_0,t_0+\delta]\to U</math>를 갖는다. 만약 <math>U=\mathbb R^n</math>일 경우, 임의의 <math>y_0\in\mathbb R^n</math>에 대하여, 위 [[초깃값 문제]]는 유일한 대역적 해 <math>\phi\colon[t_0,t_0+a]\to\mathbb R^n</math>를 갖는다.<ref name="O’Regan">{{서적 인용
|성=O’Regan
|이름=Donal
|제목=Existence Theory for Nonlinear Ordinary Differential Equations
|언어=en
|총서=Mathematics and Its Applications
|권=398
|출판사=Springer
|위치=Dordrecht
|날짜=1997
|isbn=978-90-481-4835-6
|doi=10.1007/978-94-017-1517-1
}}</ref>{{rp|12, §3.2, Theorem 3.1}}
{{증명|부제=바나흐 고정점 정리를 통한 증명}}
우선 <math>\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)\subseteq U</math>인 <math>b>0</math> 및
:<math>0<\delta\le\min\left\{a,\frac b{\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f|}\right\}</math>
를 취하자. 그렇다면 [[연속 함수]] <math>[t_0,t_0+\delta]\to\mathbb R^n</math>들의 집합 <math>\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\mathbb R^n)</math> 위에 다음과 같은 [[노름]]을 부여할 수 있다.
:<math>\Vert\phi\Vert=\Vert t\mapsto\exp(-Lt)\phi(t)\Vert_\infty=\sup_{t\in[t_0,t_0+\delta]}\exp(-Lt)|\phi(t)|</math>
이 노름은 [[상한 노름]] <math>\Vert\cdot\Vert_\infty</math>과 동치이므로 <math>(\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\mathbb R^n),\Vert\cdot\Vert)</math>은 [[바나흐 공간]]이다. 연속 함수 <math>[t_0,t_0+\delta]\to\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)</math>의 집합 <math>\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math>은 <math>\mathcal C([t_0,t_0+a],\mathbb R^n)</math>의 [[닫힌집합]]이므로 <math>(\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)),\Vert\cdot\Vert)</math> 역시 [[바나흐 공간]]이다.

이제 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.
:<math>T\colon\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))\to\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math>
:<math>T\phi\colon t\mapsto y_0+\int_{t_0}^tf(s,\phi(s))\mathrm ds</math>
이 작용소의 [[공역]]을 <math>\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math>로 제한할 수 있는 것은 임의의 <math>\phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math> 및 <math>t\in[t_0,t_0+\delta]</math>에 대하여
:<math>|(T\phi)(t)-y_0|\le\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))|\mathrm ds\le\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f|\cdot\delta\le b</math>
이기 때문이다. 정리 속 [[초깃값 문제]]의 해 <math>\phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math>는 자명하게 <math>T</math>의 [[고정점]]과 동치이다. [[바나흐 고정점 정리]]에 따라, 이러한 [[고정점]]이 유일하게 존재함을 보이려면 <math>T</math>가 (노름 <math>\Vert\cdot\Vert</math>에 대하여) [[축약 사상]]임을 보이는 것으로 충분하다. 이는 <math>f</math>의 립시츠 조건에 따라 다음과 같이 보일 수 있다. 임의의 <math>\phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math> 및 <math>t\in[t_0,t_0+\delta]</math>에 대하여,
:<math>\begin{align}
\exp(-Lt)|(T\phi-T\psi)(t)|
& \le \exp(-Lt)\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))-f(s,\psi(s))|\mathrm ds \\
& \le \exp(-Lt)\int_{t_0}^tL|\phi(s)-\psi(s)|\mathrm ds \\
& = \exp(-Lt)\int_{t_0}^tLe^{Ls}e^{-Ls}|\phi(s)-\psi(s)|\mathrm ds \\
& \le \exp(-Lt)\int_{t_0}^tLe^{Ls}\mathrm ds\Vert\phi-\psi\Vert \\
& = (1-\exp(-Lt))\Vert\phi-\psi\Vert \\
& \le (1-\exp(-L(t_0+\delta)))\Vert\phi-\psi\Vert
\end{align}</math>
마지막으로, 위 증명은 <math>\delta</math>가 고정되었을 때 <math>b</math>를 (<math>\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)\subseteq U</math>를 만족시키는) 더 큰 수로 대체하여도 유효하므로, [[초깃값 문제]]의 해 <math>[t_0,t_0+\delta]\to U</math>는 유일하게 존재한다.

만약 <math>U=\mathbb R^n</math>일 경우 <math>b=\infty</math>와 <math>\delta=a</math>를 취하면 대역적 해의 존재와 유일성을 얻는다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=그뢴발 부등식을 통한 증명}}
국소적 해의 존재는 [[페아노 존재 정리]]의 특수한 경우이다. 국소적 해의 유일성은 [[그뢴발 부등식]]을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다. <math>\phi,\psi\colon[t_0,t_0+\delta]\to U</math> (<math>0<\delta\le a</math>)가 정리 속 [[초깃값 문제]]의 두 해라고 하고, <math>h=|\phi-\psi|</math>라고 하자. 그렇다면, 임의의 <math>t\in[t_0,t_0+\delta]</math>에 대하여,
:<math>h(t)\le\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))-f(s,\psi(s))|\mathrm ds\le L\int_{t_0}^t|\phi(s)-\psi(s)|\mathrm ds=L\int_{t_0}^th(s)\mathrm ds</math>
이다. [[그뢴발 부등식]]에 따라 <math>h=0</math>이며, 즉 <math>\phi=\psi</math>이다.
{{증명 끝}}

=== 국소 립시츠 조건 ===
[[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon[t_0,t_0+a]\times U\to\mathbb R^n</math>가 주어졌고, <math>f</math>가 <math>y</math>에 대하여 국소 [[립시츠 연속 함수]]라고 하자. 즉, 임의의 <math>y_0\in U</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 <math>y_0</math>의 [[근방]] <math>\widetilde U\subseteq U</math> 및 음이 아닌 실수 <math>L\ge 0</math>가 존재한다고 하자 ('''국소 립시츠 조건''', {{llang|en|local Lipschitz condition}}).
:<math>|f(t,y)-f(t,z)|\le L|y-z|\qquad\forall(t,y),(t,z)\in[t_0,t_0+a]\times\widetilde U</math>
'''피카르-린델뢰프 정리'''에 따르면, 임의의 <math>y_0\in U</math>에 대하여, 위 [[초깃값 문제]]는 어떤 <math>0<\delta\le a</math>에 대하여 유일한 국소적 해 <math>\phi\colon[t_0,t_0+\delta]\to U</math>를 갖는다.<ref name="Cid">{{저널 인용
|성=Cid
|이름=J. Ángel
|제목=On uniqueness criteria for systems of ordinary differential equations
|언어=en
|저널=Journal of Mathematical Analysis and Applications
|권=281
|호=1
|쪽=264–275
|날짜=2003-05-01
|issn=0022-247X
|doi=10.1016/S0022-247X(03)00096-9
}}</ref>{{rp|265}} 특히, 만약 <math>y</math>에 대한 [[편미분]] <math>\partial f/\partial y</math>이 [[연속 함수]]라면, <math>f</math>는 국소 립시츠 조건을 만족시키므로, 유일한 국소적 해가 존재한다.
{{증명}}
임의의 <math>y_0\in U</math>를 고정하였을 때, <math>f</math>는 <math>[t_0,t_0+a]\times\widetilde U</math>로 제한되었을 때 립시츠 조건을 만족시키며, 따라서 정리 속 [[초깃값 문제]]는 어떤 <math>[t_0,t_0+\delta]</math>에서 유일한 국소적 해를 갖는다.
{{증명 끝}}

=== 해의 근사 ===
[[반복법]]을 사용하여 위 [[초깃값 문제]]의 해로 [[균등 수렴]]하는 [[함수열]] <math>\phi_n\colon[t_0,t_0+\delta]\to U</math>을 다음과 같이 구성할 수 있다.
:<math>\phi_0\colon t\mapsto y_0</math>
:<math>\phi_{n+1}\colon t\mapsto y_0+\int_{t_0}^tf(s,\phi_n(s))\mathrm ds</math>
이 경우 실제 해 <math>\phi\colon[t_0,t_0+\delta]\to U</math>와의 오차는 다음과 같다.
:<math>|\phi_n(t)-\phi(t)|\le\frac{L^n}{(n+1)!}|t-t_0|^{n+1}\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f|</math>
{{증명}}
:<math>|\phi_0(t)-\phi(t)|\le\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))|\mathrm ds\le|t-t_0|\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f|</math>
:<math>\begin{align} |\phi_{n+1}(t)-\phi(t)|
& \le \int_{t_0}^t|f(s,\phi_n(s))-f(s,\phi(s))|\mathrm ds \\
& \le L\int_{t_0}^t|\phi_n(s)-\phi(s)|\mathrm ds \\
& \le \frac{L^{n+1}}{(n+1)!}\int_{t_0}^t|s-t_0|^{n+1}\mathrm ds\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f| \\
& = \frac{L^{n+1}}{(n+2)!}|t-t_0|^{n+2}\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f|
\end{align}</math>
{{증명 끝}}

== 다른 정리와의 관계 ==
피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 [[필요충분조건|충분 조건]](립시츠 조건)을 제시한다. [[오스굿 유일성 정리]]는 이 충분 조건을 약화하여 얻는 정리이다. [[페아노 존재 정리]]는 립시츠 조건 대신 [[연속 함수|연속성]]만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. [[카라테오도리 존재 정리]]({{llang|en|Carathéodory's existence theorem}})는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해({{llang|en|weak solution}})의 존재만을 결론내린다.

== 역사 ==
[[샤를 에밀 피카르]]와 [[에른스트 레오나르드 린델뢰프]]({{llang|sv|Ernst Leonard Lindelöf}})<ref>{{저널 인용|이름=E.|성=Lindelöf|저자링크=에른스트 레오나르드 린델뢰프|제목=Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre|저널=Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences|권=116|날짜=1894|쪽=454–457|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table|언어=fr}}</ref>가 증명하였다.

== 같이 보기 ==
* [[벡터장]]
* [[뉴턴 방법]]
* [[오일러 방법]]
* [[사다리꼴 공식]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Coddington | first=Earl A. | 공저자=Norman Levinson | title=Theory of ordinary differential equations | url=https://archive.org/details/theoryofordinary0007codd | publisher=McGraw-Hill | | 날짜=1955|언어=en}}
* {{서적 인용| 성 = Teschl| 이름 = Gerald| title = Ordinary differential equations and dynamical systems| publisher=American Mathematical Society| 날짜 = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Cauchy-Lipschitz theorem}}
* {{매스월드|id=PicardsExistenceTheorem|title=Picard's existence theorem}}

[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:해석학 정리]]