피카르의 정리 문서 원본 보기

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[[복소해석학]]에서 '''피카르의 대정리'''({{llang|en|Picard’s great theorem}})와 '''피카르의 소정리'''({{llang|en|Picard’s little theorem}})는 [[정칙 함수]]의 특이점 근처에서의 [[상 (수학)|상]]에 대한 정리다.

== 정의 ==
[[리만 곡면]] <math>\Sigma</math> 및 점 <math>z_0\in\Sigma</math>가 주어졌다고 하고, [[정칙 함수]]
:<math>f\colon\Sigma\setminus\{z_0\}\to\widehat{\mathbb C}</math>
가 <math>z_0</math>에서 [[본질적 특이점]]을 갖는다고 하자. '''피카르의 대정리'''에 따르면, 다음 성질을 만족시키는 두 점 <math>w_1,w_2\in\widehat{\mathbb C}</math>이 존재한다.
* 임의의 [[근방]] <math>U\ni z_0</math> 및 임의의 <math>w\in\widehat{\mathbb C}\setminus\{w_1,w_2\}</math>에 대하여, <math>w=f(z_1)=f(z_2)=f(z_3)=\cdots</math>인 <math>z_1,z_2,z_3,\dots\in U</math>가 존재한다.

== 따름정리 ==
'''피카르의 소정리'''에 따르면, 만약 <math>f\colon\mathbb C\to\mathbb C</math>가 [[정칙 함수]]라면, 다음 세 명제 가운데 하나가 성립한다.
* <math>f(\mathbb C)=\mathbb C</math>
* <math>\exists w_0\in\mathbb C\colon f(\mathbb C)=\mathbb C\setminus\{w_0\}</math>
* <math>\exists w_0\in\mathbb C\colon f(\mathbb C)=\{w_0\}</math>
이는 [[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]]를 강화한 것이다.

피카르의 소정리는 피카르의 대정리의 따름정리이다. 즉, <math>\Sigma=\widehat{\mathbb C}</math>이며 <math>z_0=\widehat\infty</math>라고 하자. 그렇다면 <math>f\colon\widehat{\mathbb C}\setminus\{\widehat\infty\}\to\mathbb C</math>는 무한대에서의 성질에 따라 다음과 같은 세 가지 경우로 분류된다.
* 만약 <math>f</math>가 무한대에서 정칙 함수라면, [[리우빌 정리 (복소해석학)|리우빌 정리]]에 따라 <math>f</math>는 [[상수 함수]]이다.
* 만약 <math>f</math>가 무한대에서 극점을 갖는다면, <math>f</math>는 다항식이다. 이 경우 [[대수학의 기본정리]]에 따라 <math>f(\mathbb C)=\mathbb C</math>이다.
* 만약 <math>f</math>가 무한대에서 본질적 특이점을 갖는다면, 피카르의 대정리에 따라 <math>f(\mathbb C)=\widehat{\mathbb C}\setminus\{w_1,w_2\}</math>의 꼴이며, <math>f(\mathbb C)\subset\mathbb C</math>이므로 <math>w_2=\widehat\infty</math>로 놓을 수 있다.

== 예 ==
함수 <math>z\mapsto\exp(1/z)</math>는 <math>z=0</math>에서 본질적 특이점을 갖는다. 이 경우, 피카르의 대정리에 의하여 존재하는 두 값들은
:<math>\{w_1,w_2\}=\{0,\widehat\infty\}</math>
이다.

위 예에 [[뫼비우스 변환]]을 가해, <math>\{w_1,w_2\}</math>가 임의의 값을 갖는 예를 찾을 수 있다.

== 역사 ==
[[에밀 피카르]]의 이름을 땄다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Function theory of one complex variable|판=3판|이름=Robert E.|성=Greene|공저자= Steven G. Krantz|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=40|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-40-R|isbn=978-0-8218-3962-1|mr=2215872 |zbl=1114.30001|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Picard theorem}}
* {{매스월드|id=PicardsLittleTheorem|title=Picard's little theorem}}
* {{매스월드|id=PicardsGreatTheorem|title=Picard's great theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학 정리]]