플랑쉐렐 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}

[[수학]]에서 '''플랑쉐렐 정리'''(때때로 파르세발 –플랑쉐렐 항등식<ref>{{서적 인용|url=https://archive.org/details/photonsatomsintr00cohe_398|제목=Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics|성=Cohen-Tannoudji, Claude|성2=Dupont-Roc, Jacques|연도=1997|출판사=Wiley|쪽=[https://archive.org/details/photonsatomsintr00cohe_398/page/n39 11]|isbn=0-471-18433-0|성3=Grynberg, Gilbert}}</ref>)는 1910년 스위스 수학자 미셸 플랑쉐렐이 증명한 [[조화해석학|조화 해석학]]의 결과이다. 함수의 [[제곱]] 적분은 해당 주파수 스펙트럼의 제곱 적분과 동일하다는 정리이다. 즉, <math>f(x) </math>는 실수에서 정의된 함수이고, <math>\widehat{f}(\xi)</math>는 주파수 스펙트럼이면,

<math>\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \,dx=\int_{-\infty}^\infty |\widehat{f}(\xi)|^2\, d\xi.</math>

보다 정확한 공식은 다음과 같다: 함수가 두 [[르베그 공간]] <math>L^1(\mathbb{R})</math>과 <math>L^2(\mathbb{R})</math> 모두에 있으면 [[푸리에 변환]]은 <math>L^2(\mathbb{R})</math> 안에 있고, 푸리에 변환 사상은 ''L''<sup>2</sup> 노름에 대한 등장사상이다. 이는 <math>L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})</math>으로 제한된 푸리에 변환 사상이 [[등거리변환|선형 등장사상]]<math>L^2(\mathbb{R}) \mapsto L^2(\mathbb{R})</math>(때로는 플랑쉐렐 변환이라고도 한다.)에 대한 유일한 확장이 있다. 이 등장사상은 실제로 [[유니터리 작용소|유니터리 사상]]이다. 실제로 이는 제곱 적분 가능한 함수의 푸리에 변환에 대해 말하는 것을 가능하게 한다.

플랑쉐렐의 정리는 ''n'' 차원 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb{R}^n</math>에 명시된 대로 유효하다. 정리는 또한 국소 콤팩트 아벨 균에서 더 일반적으로 유지된다. 특정 기술적 가정을 만족하는 비가환 국소 콤팩트 군에 적합한 플랑쉐렐 정리 버전도 있다. 이것이 비가환 조화 해석학의 주제이다.

[[푸리에 변환]]의 유니터리성은 [[푸리에 급수]]의 유니터리성을 증명하는 데 사용된 이전(그러나 덜 일반적인) 결과를 기반으로 과학 및 공학 분야에서 종종 파르세발의 정리라고 불린다.

극화 항등식으로 인해 플랑쉐렐의 정리를 [[르베그 공간|<math>L^2(\mathbb{R})</math>]] 두 함수의 [[내적 공간|내적]]에 적용할 수 있다. 즉, 만약 <math>f(x)</math>과 <math>g(x)</math>이 <math>L^2(\mathbb{R})</math> 함수이고 <math> \mathcal P</math>가 플랑쉐렐 변환을 나타내면, <math display="block">\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} \, dx = \int_{-\infty}^\infty (\mathcal P f)(\xi) \overline{(\mathcal P g)(\xi)} \, d\xi,</math>이고 만약에 <math>f(x)</math>과 <math>g(x)</math>가 더욱이 <math>L^1(\mathbb{R})</math> 함수이면, <math display="block"> (\mathcal P f)(\xi) = \widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx ,</math> 그리고 <math display="block"> (\mathcal P g)(\xi) = \widehat{g}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty g(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx ,</math> 그래서{{Equation box 1|border|indent=|title=|equation=<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)} \, dx = \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(\xi) \overline{\widehat{g}(\xi)} \, d\xi.</math>|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}

== 같이 보기 ==

* 구면 함수에 대한 플랑쉐렐 정리

== 참고자료 ==
<references />

* {{인용|doi=10.1007/BF03014877|last=Plancherel|first=Michel|authorlink=Michel Plancherel|year=1910|title=Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies|journal=[[Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo]]|volume=30|issue=1|pages=289&ndash;335|s2cid=122509369}}.
* {{인용|first=J.|last=Dixmier|authorlink=Jacques Dixmier|title=Les C*-algèbres et leurs Représentations|publisher=Gauthier Villars|year=1969}}.
* {{인용|first=K.|last=Yosida|authorlink=Kōsaku Yosida|title=Functional Analysis|publisher=Springer Verlag|year=1968}}.

== 외부 링크 ==

* {{SpringerEOM|id=p/p072770|제목=Plancherel theorem}}
* [http://mathworld.wolfram.com/PlancherelsTheorem.html Plancherel's Theorem] on Mathworld

[[분류:푸리에 해석학 정리]]
[[분류:조화해석학 정리]]
[[분류:함수해석학 정리]]