프톨레마이오스 정리 문서 원본 보기

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[[파일:Ptolemy Theorem.svg|오른쪽|섬네일|대체글=원에 내접하는 사각형과 두 대각선|프톨레마이오스 정리의 도해]]
[[기하학]]에서 '''프톨레마이오스 정리'''({{lang|la|Ptolemaeus}}定理, {{llang|en|Ptolemy's theorem}}) 또는 '''톨레미 정리'''({{lang|en|Ptolemy}}定理)는 [[원 (기하학)|원]]에 [[내접]]하는 [[사각형]]의 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다는 정리이다.

== 정의 ==
'''프톨레마이오스 정리'''에 따르면, [[내접 사각형]] <math>ABCD</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC</math>
이는 [[케이시의 정리]]의 특수한 경우이다.

== 증명 ==
=== 삼각형의 닮음을 통한 증명 ===
[[파일:Ptolemy's theorem.svg|섬네일|없음|690픽셀|대체글=사각형의 내접원과 두 대각선에 같은 각과 닮은 삼각형을 같은 색으로 표시한 도해|삼각형의 닮음을 통한 증명의 도해]]
사각형 <math>ABCD</math>의 외접원의 호 <math>AB</math>와 <math>BC</math>의 [[원주각]]의 성질에 의하여 <math>\angle BAC=\angle BDC</math>이고 <math>\angle ADB=\angle ACB</math>이다. 선분 <math>AC</math> 위에서 <math>\angle ABK=\angle CBD</math>를 만족시키는 점 <math>K</math>를 잡자. 그러면 <math>\angle ABD=\angle CBK</math>이다. 따라서, 삼각형 <math>\triangle ABK</math>와 <math>\triangle DBC</math>는 닮음이고, 삼각형 <math>\triangle ABD</math>와 <math>\triangle KBC</math> 역시 닮음이므로,
:<math>\frac{AK}{AB}=\frac{CD}{BD}</math>
와
:<math>\frac{CK}{BC}=\frac{AD}{BD}</math>
가 성립한다. <math>AK+CK=AC</math>이므로
:<math>AB\cdot CD+BC\cdot AD
=AK\cdot BD+CK\cdot BD
=AC\cdot BD</math>
이다.

=== 반전을 통한 역증명 ===
[[파일:Ptolemy-crop.svg|섬네일|대체글=사각형의 내접원과 이를 내부에 포함하는 반전원, 그리고 내접원에 반전을 가하여 얻은 직선|반전을 통한 증명의 도해]]
중심이 <math>D</math>인 [[단위원]]에 대한 [[반전 (기하학)|반전]]에 대한 <math>A,B,C</math>의 상을 <math>A',B',C'</math>이라고 하자. 그러면 <math>A',B',C'</math>은 서로 다른 [[공선점]]이며, <math>B'</math>은 <math>A'</math>와 <math>C'</math> 사이의 점이다. 반전의 성질에 의하여
:<math>A'B'=\frac{AB}{AD\cdot BD}</math>
:<math>B'C'=\frac{BC}{BD\cdot CD}</math>
:<math>A'C'=\frac{AC}{AD\cdot CD}</math>
이며, <math>A'B'+B'C'=A'C'</math>이므로,
:<math>
\frac{AB}{AD\cdot BD}+
\frac{BC}{BD\cdot CD}=
\frac{AC}{AD\cdot CD}
</math>
가 성립한다.

== 따름정리 ==
=== 삼각 함수 항등식 ===
프톨레마이오스 정리에서 한 대각선이 내접원의 지름인 경우는 두 각의 합의 [[사인 함수]]에 대한 항등식과 [[동치]]이다.<ref name="Berger" />{{rp|309, Historical note 10.9.2.1}} 즉, 내접 사각형 <math>ABCD</math>의 대각선 <math>AC</math>가 내접원의 중심 <math>O</math>를 지난다고 하자. 편의상 내접원의 반지름이 1이라고 하자. 또한 <math>\angle BOC=2\theta</math>이고 <math>\angle COD=2\varphi</math>라고 하자. 그러면
:<math>AC=2</math>
:<math>BD=2\sin(\theta+\varphi)</math>
:<math>AB=2\cos\theta</math>
:<math>CD=2\sin\varphi</math>
:<math>AD=2\cos\varphi</math>
:<math>BC=2\sin\theta</math>
이므로, 프톨레마이오스 정리에 의하여
:<math>\sin(\theta+\varphi)
=\cos\theta\sin\varphi
+\cos\varphi\sin\theta</math>
가 성립한다.

== 프톨레마이오스 정리의 역 ==
프톨레마이오스 정리의 [[역 (논리학)|역]] 또한 성립한다. 즉, 사각형 <math>ABCD</math>가
:<math>AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC</math>
를 만족시킨다면, 내접 사각형이다.

== 프톨레마이오스 부등식 ==
'''프톨레마이오스 부등식'''({{lang|la|Ptolemaeus}}不等式, {{llang|en|Ptolemy's inequality}})에 따르면, 임의의 사각형 <math>ABCD</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
:<math>AC\cdot BD
\le AB\cdot CD+AD\cdot BC</math>
또한, 등호가 성립할 [[필요충분조건]]은 내접 사각형이다.

보다 일반적으로, 평면 위 임의의 네 점 <math>A,B,C,D</math>에 대하여, 위와 같은 부등식이 성립하며, 또한 이들에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.<ref name="Berger" />{{rp|309, Proposition 10.9.2}}
* 다음 가운데 하나가 성립한다.
** <math>AB\cdot CD
=AC\cdot BD+AD\cdot BC</math>
** <math>AC\cdot BD
=AB\cdot CD+AD\cdot BC</math>
** <math>AD\cdot BC
=AB\cdot CD+AC\cdot BD</math>
* [[공원점]]이거나 [[공선점]]이다.

== 역사 ==
고대 [[그리스]]의 [[천문학자]]이자 [[수학자]]인 [[클라우디오스 프톨레마이오스]]는 이 정리를 저서 《[[알마게스트]]》에 등장하는 현표를 만드는 데 사용하였다.<ref name="Berger">{{서적 인용
|성=Berger
|이름=Marcel
|저자링크=마르셀 베르제
|제목=Geometry I
|언어=en
|번역자-성1=Cole
|번역자-이름1=Michael
|번역자-성2=Levy
|번역자-이름2=Silvio
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=1987
|isbn=978-3-540-11658-5
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-3-540-93815-6
}}</ref>{{rp|309, Historical note 10.9.2.1}}

== 같이 보기 ==
* [[활꼴]]
* [[현 (기하학)|현]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{수학노트|title=톨레미의 정리}}
* {{매스월드|id=PtolemysTheorem|title=Ptolemy's theorem}}
* {{매스월드|id=PtolemyInequality|title=Ptolemy inequality}}
* {{플래닛매스|urlname=PtolemysTheorem|title=Ptolemy's theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:사각형과 원에 대한 정리]]
[[분류:클라우디오스 프톨레마이오스]]
[[분류:유클리드 평면기하학]]