프로이덴탈 현수 정리 문서 원본 보기

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수학, 특히 [[호모토피 이론]]에서 '''프로이덴탈 현수 정리'''(-懸垂定理, {{llang|en|Freudenthal suspension theorem}})는 위상 공간의 [[현수 (위상수학)|현수]]의 [[호모토피 군]]에 대한 정리이다.

== 정리 ==

{{인용문|'''프로이덴탈 현수 정리'''

[[점을 가진 공간|점을 가진]] [[n-연결 공간]] <math>X</math>가 주어졌을 때, 이 공간에 [[축소 현수]] 함자 <math>\Sigma</math>와 [[고리 공간]] 함자 <math>\Omega</math>를 취하는 사상
: <math>X \to \Omega (\Sigma X)</math>
로부터 비롯된 호모토피 군 사이의 사상
: <math>\pi_k(X) \to \pi_k(\Omega (\Sigma X))</math>
는 <math>k \le 2 n</math>일 땐 [[동형 사상]]이고 <math>k = 2 n + 1</math>일 땐 [[전사 사상|전사]]이다.
}}

고리 공간의 성질에 따라 <math>\pi_k(\Omega (\Sigma X)) \cong \pi_{k+1}(\Sigma X)</math>이므로 위 정리는 사상 <math>\pi_k(X) \to \pi_{k+1}(\Sigma X)</math>에 대한 것이라고도 할 수 있다.

== 증명 ==

== 응용 ==

=== 구의 호모토피 군 ===

[[초구]] <math>S^n</math>은 <math>(n-1)</math>-연결 공간이고 <math>\Sigma S^n \cong S^{n+1}</math>이므로, 프로이덴탈 현수 정리를 적용하면 <math>n > k+1</math>일 경우 <math>\pi_{n+k}(S^n) \cong \pi_{n+k+1}(S^{n+1})</math>이라는 것을 알 수 있다. 이 때의 군 <math>\pi_{n+k}(S^n)</math>를 ‘초구 [[스펙트럼 (위상수학)|스펙트럼]]의 안정 호모토피 군’이라 부르고 <math>\pi_k^S</math>로 표기한다.

== 역사 ==

1938년 [[한스 프로이덴탈]]이 발표하였다.<ref>{{인용|first=H.|last=Freudenthal|authorlink=한스 프로이덴탈|title=Über die Klassen der Sphärenabbildungen. I. Große Dimensionen|journal=Compositio Mathematica|volume=5|year=1938|pages=299–314|url=http://www.numdam.org/item?id=CM_1938__5__299_0}}</ref> 이 정리는 위상 공간에 연산을 거듭하면 호모토피 군이 어느 시점 이후로 안정화할 수도 있다는 것을 보였고 [[안정 호모토피 이론]]을 발전시키게 되었다.

== 참고 문헌 ==

<references/>

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학 정리]]
[[분류:호모토피 이론]]