프로베니우스 방법 문서 원본 보기

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'''프로베니우스 방법'''(Frobenius方法, {{llang|en|Frobenius method}})은 특정한 종류의 선형 [[상미분 방정식]]을 [[거듭제곱 급수]] 전개로 푸는 방법이다.

== 정의 ==
[[정칙 함수]] <math>p_1(z),\dots,p_k(z)</math>가 <math>z=0</math>에서 특이점을 갖지 않는다고 하자. 미지의 [[정칙 함수]] <math>f(z)</math>에 대한 ''k''차 [[선형 상미분 방정식]]
:<math>f^{(k)}(z)+z^{-1}p_{k-1}(z)f^{(k-1)}(z)+\cdots+z^{1-n}p_1(z)f'(z)+z^{-n}p_0f(z)=0</math>
은 <math>z=0</math>에서 [[정칙 특이점]]을 갖는다. 그렇다면, '''프로베니우스 방법'''은 <math>f</math>를 다음과 같은 급수를 [[가설 풀이]]로 대입하여 미분 방정식을 푸는 방법이다.
:<math>f(z)=z^r+a_1z^{r+1}+a_2z^{r+2}+\cdots</math>
이 경우, 미지의 최저 차수 <math>r</math>는 다음과 같이 구한다. 미분 방정식은 <math>z\to0</math> 근처에서 다음과 같다.
:<math>0=\left(r(r-1)\cdots(r-k+1)+p_{k-1}(0)r(r-1)\cdots(r-k+2)+\cdots+p_1(0)r+p_0(0)\right)z^{r-k}+\mathcal O(z^{r-k+1})</math>
따라서,
:<math>0=r(r-1)\cdots(r-k+1)+p_{k-1}(0)r(r-1)\cdots(r-k+2)+\cdots+p_1(0)r+p_0(0)</math>
임을 알 수 있다. <math>r</math>에 대한 이 ''n''차 다항식을 '''결정 다항식'''({{llang|en|indicial polynomial}})이라고 하며, <math>r</math>는 결정 다항식의 근이다.
* 만약 결정 다항식의 근들의 차가 [[정수]]가 아니라면, 모든 해들은 위와 같은 [[거듭제곱 급수]]로 전개될 수 있다.
* 만약 결정 다항식의 근들 가운데 일부가 일치하거나, 아니면 근들의 차 가운데 일부가 정수라면, 일반적으로 해는 다음과 같이 로그 항이 포함될 수 있다.
::<math>f(z)=z^r\sum_{m=1}^{k-1}\sum_{n=0}^\infty a_{m,n}(\ln z)^mz^n</math>
:다만, 항상 순수하게 [[거듭제곱 급수]] 꼴인 해가 적어도 하나는 존재한다 ('''푹스 정리''' {{llang|en|Fuchs’ theorem}}).

=== 근이 겹치는 경우 ===
결정 다항식의 근들이 <math>\{r_1,\dots,\}</math>이고, <math>\lambda_i</math>의 중복도가 <math>m_i</math>라고 하자. 또한, <math>i\ne j</math>인 경우 <math>r_i-r_j</math>가 항상 정수가 아니라고 하자. 그렇다면 프로베니우스 방법에 의하여, 각 <math>r^i</math>에 대응되는 해들은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>f_{i,0}=z^{r_i}(\cdots)</math>
:<math>f_{i,1}=f_{i,0}(z)\frac{\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_i)}+z^{r_i}(\cdots)</math>
:<math>f_{i,2}=f_{i,1}(z)\frac{\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_i)}+z^{r_i}(\cdots)</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>f_{i,m_i-1}=f_{i,m_i-2}(z)\frac{\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_i)}+z^{r_i}(\cdots)</math>
여기서 <math>(\cdots)</math>는 <math>z=0</math>에서 [[정칙 함수]]를 나타낸다. 이 경우, <math>z=0</math>을 반시계방향으로 한 번 돈 [[모노드로미]]는 다음과 같이 [[조르당 표준형]]이 된다.
:<math>\begin{pmatrix}f_{i,m_i-1}\\f_{i,m_i-2}\\\vdots\\f_{i,1}\\f_{i,0}\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}
\exp(2\pi ir_i)&1\\
&\exp(2\pi ir_i)&1\\
&&\ddots&\ddots\\
&&&\exp(2\pi ir_i)&1\\
&&&&\exp(2\pi ir_i)\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}f_{i,m_i-1}\\f_{i,m_i-2}\\\vdots\\f_{i,1}\\f_{i,0}\end{pmatrix}
</math>

== 낮은 차수 선형 방정식 ==
=== 1차 선형 방정식 ===
1차 선형 방정식의 경우 결정 방정식은 1차 방정식이므로 쉽게 풀 수 있다. 미분 방정식
:<math>f'(z)+p(z)f(z)/z=0</math>
의 경우, 결정 다항식은
:<math>r=-p(0)</math>
이며, 이에 따라 해는
:<math>f(z)=z^{-p(0)}(a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots)</math>
의 꼴이다. 물론, 이 경우는 굳이 프로베니우스 방법을 쓰지 않아도 바로
:<math>f(z)=\exp\left(C-\int_0^z\frac{p(z')dz}{z'}\right)
=\exp\left(C-p(0)\ln z+p'(0)z+p''(0)z^2/4+\cdots\right)
</math>
로 풀 수 있다. 이 경우, 반시계방향 회전 <math>z\to\exp(i\theta)z</math>에 대한 [[모노드로미]]는 프로베니우스 방법과 마찬가지로
:<math>f(z)\to\exp(-2\pi ip(0))f(z)</math>
가 됨을 알 수 있다.

=== 2차 선형 방정식 ===
2차 선형 방정식의 경우, 결정 다항식은 2차 방정식이므로, 쉽게 풀 수 있다.
:<math>r=\frac12\left(1-p_1(0)\pm\sqrt{(p_1(0)-1)^2-4p_2(0)}\right)</math>
이 경우 두 근을 <math>r_1,r_2</math>라고 하자. 이 경우 다음과 같은 경우가 가능하다.
* 만약 두 근이 서로 겹치지 않고, 또한 <math>r_1-r_2</math>가 [[정수]]가 아니라면
::<math>f_1(z)=z^{r_1}\left(a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots\right)</math>
::<math>f_2(z)=z^{r_2}\left(b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots\right)</math>
:와 같은 꼴의 두 해가 존재한다. 이 경우, <math>z\to\exp(i\theta)z</math>와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 [[모노드로미]]를 얻는다.
::<math>\begin{pmatrix}f_1\\f_2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_1)&0\\0&\exp(2\pi ir_2)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_1\\f_2\end{pmatrix}</math>
* 만약 두 근이 서로 겹친다면 (<math>r_1=r_2=r</math>) 두 근은 다음과 같은 꼴이다.
::<math>f_1(z)=z^r\left(a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots\right)</math>
::<math>f_2(z)=f_1(z)\ln{z}+z^r\left(b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots\right)</math>
:이 경우, <math>z\to\exp(i\theta)z</math>와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 [[모노드로미]]를 얻는다.
::<math>\begin{pmatrix}f_1\\f_2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir)&0\\2\pi i\exp(2\pi ir)&\exp(2\pi ir)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_1\\f_2\end{pmatrix}</math>
* 만약 두 근이 서로 겹치지 않지만 그 차 <math>r_1-r_2=n\in\mathbb Z^+</math>가 양의 정수라면 두 근은 다음과 같은 꼴이다.
::<math>f_1(z)=z^{r_1}(a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots)</math>
::<math>f_2(z)=Cf_1(z)\ln z+z^{r_2}\left(b_0+b_1z+b_2z^2+\cdots\right)</math>
:이 경우 <math>C=0</math> 또는 <math>C=1</math>이다. 이 경우, <math>z\to\exp(i\theta)z</math>와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 [[모노드로미]]를 얻는다.
::<math>\begin{pmatrix}f_1\\f_2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_1)&0\\2\pi iC\exp(2\pi ir_1)&\exp(2\pi ir_1)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_1\\f_2\end{pmatrix}</math>

== 예 ==
[[베셀 방정식]]
:<math>f''+z^{-1}f'+(1-\alpha^2/z^2)f=0</math>
을 생각해 보자. 이 경우, 결정 다항식은
:<math>r(r-1)+r-\alpha^2</math>
이다. 따라서
:<math>r=\pm\alpha</math>
가 된다. 즉, <math>\alpha\not\in\mathbb Z</math>라면 해는 <math>z=0</math> 근처에서
:<math>f(z)\propto z^{\pm\alpha}(1+\cdots)</math>
의 꼴이 된다. 실제로 베셀 방정식의 두 독립해는 [[베셀 함수]] <math>\{J_\alpha(z),J_{-\alpha}(z)\}</math>에 의하여 주어지며, 이들은 <math>z=0</math> 근처에서 다음과 같다.
:<math>J_{\pm\alpha}(z)\sim\frac{(z/2)^{\pm\alpha}}{\Gamma(1\pm\alpha)}+\cdots</math>
여기서 <math>\cdots</math>는 <math>z=0</math>에서 [[정칙 함수]]이다.

만약 <math>\alpha=0</math>이라면, 두 근이 겹치게 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 <math>\{J_0(z),Y_0(z)\}</math>이며, <math>z=0</math> 근처에서
:<math>J_0(z)\sim 1+\cdots</math>
:<math>Y_0(z)\sim(2/\pi)J_0(z)\ln z+\cdots</math>
이다. 여기서 <math>\cdots</math>는 <math>z=0</math>에서 [[정칙 함수]]이다.

만약 <math>\alpha=n\in\mathbb Z^+</math>이라면, 두 근의 차가 정수가 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는 <math>\{J_n(z),Y_n(z)\}</math>가 된다. 이 경우
:<math>J_n(z)\sim(z/2)^n/n!+\cdots</math>
:<math>Y_n(z)\sim(2/\pi)\pi J_n(z)\ln z+z^{-n}(\cdots)</math>
이다. 여기서 <math>\cdots</math>는 <math>z=0</math>에서 [[정칙 함수]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[정칙 특이점]]
* [[로랑 급수]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
  | 성 = Kreyszig
  | 이름 = Erwin
  | 제목 = Advanced Engineering Mathematics
  | url = https://archive.org/details/advancedengineer0008krey
  | 판 = 8판
  | 출판사 = John Wiley & Sons, INC.
  | 연도 = 1999
  |ISBN=0-471-15496-2 }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Frobenius method}}
* {{매스월드|id=FrobeniusMethod|title=Frobenius method}}
* {{매스월드|id=FuchssTheorem|title=Fuchs’s theorem}}

[[분류:상미분 방정식]]