프로베니우스 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''프로베니우스 대수'''({{llang|en|Frobenius algebra}})는 호환되는 내적이 주어진 유한 차원 [[단위 결합 대수]]이다.

== 정의 ==
체 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[결합 대수]] <math>A</math>가 주어졌다고 하자. 이는 스스로 위의 [[쌍가군]] <math>_AA_A</math>을 이룬다. 마찬가지로, 그 [[쌍대 가군]]
:<math>A^\vee = \hom_K(A,K)</math>
역시 스스로 위의 쌍가군 <math>_A{A^\vee}_A</math>을 이룬다. 구체적으로,
:<math>a\cdot \phi \cdot b \colon x \mapsto \phi(bxa)</math>
이다.

그렇다면, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>A</math>-[[왼쪽 가군]]의 동형 <math>_AA \cong {}_AA^\vee</math>이 존재한다.
* <math>A</math>-[[오른쪽 가군]]의 동형 <math>A_A \cong {A^\vee}_A</math>이 존재한다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
[[왼쪽 가군]]의 동형
:<math>\lambda\colon {}_AA \to {}_AA^\vee</math>
이 주어졌다고 하자. 즉,
:<math>\lambda(a)(x) = \lambda(a,x)</math>
에 대하여,
:<math>\lambda(a,xb) = \lambda(ba,x)</math>
라고 하자. 그렇다면,
:<math>\rho \colon A\to A^\vee</math>
:<math>\rho(a)(x) = \lambda(x,a)</math>
를 정의하면,
:<math>(\rho(a)\cdot b)(x) = \rho(a)(bx) = \lambda(bx,a)
=\lambda(x,ab) = \rho(ab)(x)</math>
이므로, <math>\rho</math>는 [[오른쪽 가군]]의 동형이다.

반대 방향의 함의도 마찬가지다.
</div></div>
또한, 이러한 동형이 존재할 [[필요 조건]]은 물론 <math>A</math>가 유한 차원 <math>K</math>-[[벡터 공간]]인 것이다.

이러한 동형이 갖추어진 <math>K</math>-[[결합 대수]]를 '''프로베니우스 대수'''라고 한다.

프로베니우스 대수 <Math>(A,\lambda\colon {}_AA \to {}_AA^\vee)</math>가 주어졌다면, 다음과 같은 구조들을 추가로 정의할 수 있다. 우선,
:<math>\langle a,b\rangle = \lambda(1)(ab)</math>
를 정의하자. 그렇다면,
:<math>\langle ac,b\rangle = \lambda(1)(acb) = \langle a,cb\rangle</math>
이 성립한다. <math>\lambda</math>가 벡터 공간의 동형이므로, <math>\langle-,-\rangle</math>는 [[비퇴화 쌍선형 형식]]이다. 이를 '''프로베니우스 형식'''이라고 한다.

또한, '''대각합'''
:<math>\operatorname{tr} \colon A \to k</math>
:<math>\operatorname{tr}\colon a \mapsto \lambda(1)(a)</math>
을 정의할 수 있다.

만약 <math>\operatorname{tr}(ab)=\operatorname{tr}(ba)</math>라면, <math>V</math>를 '''대칭 프로베니우스 대수'''({{llang|en|symmetric Frobenius algebra}})이라고 한다.

[[가환환]]인 프로베니우스 대수를 '''가환 프로베니우스 대수'''({{llang|en|commutative Frobenius algebra}})라고 한다.

=== 프로베니우스 대상 ===
보다 일반적으로 [[모노이드 범주]] <Math>(\mathcal C, \otimes,1)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[반대 범주]] <Math>(\mathcal C^{\operatorname{op}}, \otimes,1)</math> 역시 같은 텐서곱으로 [[모노이드 범주]]를 이룬다.

<math>\mathcal C</math> 속의 '''프로베니우스 대상'''({{llang|en|Frobenius object}})은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[모노이드 대상]] <math>(A,\mu\colon A\otimes A\to1,\eta\colon 1\to A)</math>
* [[쌍대 모노이드 대상]] (즉, <Math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>의 [[모노이드 대상]]) <math>(A,\delta\colon A\to A\otimes A,\eta\colon A\to1)</math>
이 두 구조는 다음과 같은 호환 관계를 만족시켜야 한다.
:<math>\begin{matrix}
& & \!\!\!\!A^{\otimes3}\!\!\!\!\\
&{\!\!\!\!^{\delta\otimes\operatorname{id}}\!\!\!\!}\nearrow{\color{White}^{\delta\otimes\operatorname{id}}\!\!\!\!\!\!\!\!} & & {\color{White}\!\!\!\!^{\operatorname{id}\otimes\mu}\!\!\!\!}\searrow{\!\!\!\!^{\operatorname{id}\otimes\mu}\!\!\!\!} \\
A^{\otimes2} \!\!\!\!& \!\!\!\!\underset\mu\to \!\!\!\!& \!\!\!\!A\!\!\!\! & \!\!\!\!\underset\delta\to\!\!\!\!&  \!\!\!\!A^{\otimes2} \\
& {\!\!\!\!_{\operatorname{id}\otimes\delta}\!\!\!\!}\searrow {\color{White}_{\operatorname{id}\otimes\delta}\!\!\!\!\!\!\!\!}& & {\color{White}\!\!\!\!_{\mu\otimes\operatorname{id}}\!\!\!\!}\nearrow{\!\!\!\!_{\mu\otimes\operatorname{id}}\!\!\!\!} \\
& & \!\!\!\!A^{\otimes3}\!\!\!\!\\
\end{matrix}</math>
(편의상, 모노이드 범주의 결합자 등을 생략하였다.)

== 위상 양자장론과의 관계 ==
[[파일:Pair of pants cobordism (pantslike).svg|thumb|right|바지 곡면({{llang|en|pair of pants}}). 이 곡면에서의 분배 함수는 가환 프로베니우스 대수의 곱셈을 정의한다.]]
2차원 [[위상 양자장론]]은 가환 프로베니우스 대수로 나타내어진다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9407018|제목=Geometry of 2d topological field theories|이름=Boris|성=Dubrovin|언어=en|bibcode=1994hep.th....7018D|날짜=1994}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Les Houches lectures on fields, strings and duality|이름=Robbert|성=Dijkgraaf|arxiv=hep-th/9703136|bibcode=1997hep.th....3136D|언어=en}}</ref>{{rp|24–27}} 정확히 말하면, (복소) 가환 프로베니우스 대수의 [[범주 (수학)|범주]]는 2차원 위상 양자장론의 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다. 프로베니우스 대수와 위상 양자장론은 다음과 같이 대응된다.

{| class="wikitable"
|-
! 기호 !! 가환 프로베니우스 대수 !! 2차원 [[위상 양자장론]]
|-
| <math>V</math> || 프로베니우스 대수 || 원 <math>S^1</math>의 힐베르트 공간 <math>E(S^1)</math>
|-
| <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> || 프로베니우스 형식 || [[힐베르트 공간]]의 내적
|-
| <math>\cdot\colon V\times V\to V</math> || 곱셈 || 바지 곡면([[:en:pair of pants (mathematics)]])의 [[분배 함수 (양자장론)|분배 함수]]
|-
| <math>1\in V</math> || 곱셈의 단위원 || [[원판]]의 [[분배 함수 (양자장론)|분배 함수]] <math>Z(D^2)\in E(\partial D^2)=E(S^1)</math>
|}

== 예 ==
체 <Math>K</math> 위의 [[행렬환]] <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math> 위의 임의의 [[부분환]] <Math>R \subseteq \operatorname{Mat}(n;K)</math>이 주어졌을 때, 프로베니우스 형식
:<math>\langle a,b\rangle = \operatorname{tr}(ab)</math>
을 주면, 이는 <math>K</math> 위의 프로베니우스 대수를 이룬다. <math>n>1</math>이면 이는 가환 대수가 아니다.

모든 유한 차원 [[호프 대수]]는 프로베니우스 대수이다.

=== 군환 ===
임의의 유한군 <math>G</math>에 대하여, [[군환]] <math>K[G]</math> 위에 프로베니우스 형식
:<math>\langle a,b\rangle = \operatorname{proj}_{K1_G} (ab)</math>
을 부여하면, 프로베니우스 대수를 이룬다. 여기서 <math>\operatorname{proj}_{K1_G} \colon K[G] \to K</math>는 군의 항등원으로 생성되는 1차원 부분 공간으로의 [[사영 (선형대수학)|사영]]이다. 즉,
:<math>\left\langle \sum_{g\in G}a_gg,\sum_{h\in G}b_hh\right\rangle 
= \sum_{g\in G}a_gb_{g^{-1}}</math>
이다. 이 경우, 대각합은
:<math>\operatorname{tr}\colon \sum_{g\in G}a_gg \mapsto a_1</math>
이다.

=== 표현환 ===
[[유한군]] <math>G</math>가 주어졌다고 하자. <math>G</math>의 유리수 계수 유니터리 [[표현환]]
:<math>A = \operatorname{RU}(G) \otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q</math>
위에 프로베니우스 형식
:<math>\langle \rho,\rho'\rangle = \operatorname{proj}_1 \rho\otimes \rho'</math>
를 부여하자. 여기서
:<math>\operatorname{proj}_1 \colon A\to \mathbb Q</math>
은 자명한 표현으로의 사영 사상이다. 이 경우
:<math>\langle\rho_1 \otimes\rho_2,\rho_3\rangle = \langle \rho_1, \rho_2 \otimes \rho_3\rangle </math>
은 <math>\rho_1 \otimes \rho_2 \otimes \rho_3</math>의 [[기약 표현]] 분해에 포함된 자명한 표현의 차원이 된다.

== 역사 및 어원 ==
[[리하르트 브라우어]]와 세실 네스빗({{llang|en|Cecil J. Nesbitt}})이 1937년 도입하였고,<ref>{{저널 인용| last=Brauer | first=Richard |저자링크=리하르트 브라우어|이름2=Cecil J.|성2=Nesbitt | title=On the regular representations of algebras | pmid=16588158 | pmc=1076908 | doi=10.1073/pnas.23.4.236 | year=1937 | journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America | volume=23 | issue=4 | pages=236–240}}</ref> [[페르디난트 게오르크 프로베니우스]]의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[호프 대수]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|doi=10.4171/102|isbn=978-3-03719-102-6|title=Frobenius algebras I: Basic representation theory|first=Andrzej|last=Skowroński|coauthors=Kunio Yamagata|series=EMS Textbooks in Mathematics|publisher=European Mathematical Society|zbl=05988530|mr=2894798|date=2011|언어=en}}
* {{서적 인용|url=http://mat.uab.cat/~kock/TQFT/trailer.pdf|title=Frobenius algebras and 2D topological quantum field theories|성=Kock|이름=Joachim|출판사=Cambridge University Press|doi=10.1017/CBO9780511615443|zbl=1046.57001|총서=London Mathematical Society Student Texts|권=59|isbn=978-0-52183267-0|date=2003|언어=en|확인날짜=2013-09-22|보존url=https://web.archive.org/web/20130926031943/http://mat.uab.cat/~kock/TQFT/trailer.pdf|보존날짜=2013-09-26|url-status=dead}}
* {{저널 인용|arxiv=q-alg/9505026|doi=10.1063/1.531180|title=Direct sum decompositions and indecomposable TQFTs|bibcode=1995q.alg.....5026S|이름=Stephen|성=Sawin|권=36|호=12|date=1995-12|issn=0022-2488|pages=6673–6680|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Frobenius algebra}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/week268.html|제목=Week 268|이름=John|성=Baez|웹사이트=This Week’s Finds in Mathematical Physics|date=2008-08-06|언어=en|확인날짜=2013-09-22|보존url=https://web.archive.org/web/20130927012422/http://math.ucr.edu/home/baez/week268.html|보존날짜=2013-09-27|url-status=dead}}
* {{웹 인용|url=http://math.ucr.edu/home/baez/week299.html|제목=Week 299|이름=John|성=Baez|웹사이트=This Week’s Finds in Mathematical Physics|date=2010-06-12|언어=en|확인날짜=2013-09-22|보존url=https://web.archive.org/web/20130927012308/http://math.ucr.edu/home/baez/week299.html|보존날짜=2013-09-27|url-status=dead}}

[[분류:대수]]