프라티니 논증 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[군론]]에서, '''프라티니 논증'''(-論證, {{llang|en|Frattini argument}})는 [[유한군]]을 [[정규 부분군]]과 이 부분군의 [[쉴로브 부분군]]의 [[정규화 부분군]]의 곱으로 나타낼 수 있다는 정리이다.

== 정의 ==
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>와 [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>가 주어졌고, <math>N</math>이 <math>G</math>의 [[유한군|유한]] [[정규 부분군]]이며, <math>P</math>가 <math>N</math>의 [[쉴로브 p-부분군|쉴로브 ''p''-부분군]]이라고 하자. '''프라티니 논증'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="Rose">{{서적 인용
|성=Rose
|이름=Harvey E.
|제목=A Course on Finite Groups
|언어=en
|총서=Universitext
|출판사=Springer
|위치=London
|날짜=2009
|isbn=978-1-84882-888-9
|issn=0172-5939
|doi=10.1007/978-1-84882-889-6
}}</ref>{{rp|128, §6.3, Lemma 6.14}}
:<math>G=N\operatorname N_G(P)</math>
여기서 <math>\operatorname N_G(P)</math>는 <math>G</math> 속 <math>P</math>의 [[정규화 부분군]]이다.

== 증명 ==
임의의 <math>g\in G</math>에 대하여, <math>gPg^{-1}</math>은 <math>N</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이다. [[제2 쉴로브 정리]]에 의하여, 이는 <math>N</math>에서 <math>P</math>와 [[켤레 부분군|켤레]]이다. 즉,
:<math>ngPg^{-1}n^{-1}=P</math>
인 <math>n\in N</math>이 존재한다. 따라서 <math>ng\in\operatorname N_G(P)</math>이며,
:<math>g\in n^{-1}\operatorname N_G(P)\subseteq N\operatorname N_G(P)</math>
이다.

== 응용 ==
유한군 <math>G</math>와 소수 <math>p</math>가 주어졌고, <math>P</math>가 <math>G</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이며, <math>\operatorname N_G(P)\le H\le G</math>라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="Rose" />{{rp|129, §6.3, Corollary 6.15}}
:<math>\operatorname N_G(H)=H</math>
특히,
:<math>\operatorname N_G(\operatorname N_G(P))=\operatorname N_G(P)</math>
이다.
{{증명}}
<math>H</math>가 <math>\operatorname N_G(H)</math>의 정규 부분군이며,
:<math>P\le\operatorname N_G(P)\le H</math>
는 <math>H</math>의 쉴로브 ''p''-부분군이므로, 프라티니 논증에 의하여
:<math>\operatorname N_G(H)=H\operatorname N_{\operatorname N_G(H)}(P)\le H\operatorname N_G(P)=H\le\operatorname N_G(H)</math>
이다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
1885년에 [[조반니 프라티니]]({{llang|it|Giovanni Frattini}})가 유한군의 [[프라티니 부분군]]이 [[멱영군]]이라는 사실을 증명하기 위해 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{proofwiki|id=Frattini's Argument|제목=Frattini's argument}}

{{전거 통제}}
[[분류:유한군]]
[[분류:보조정리]]