프라임 제타 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}

수학에서 프라임 제타 함수(Prime zeta function)는 [[리만 제타 함수]]의 유형으로 [[제임스 글레이셔|글레이셔]](Glaisher,1891)가 연구했다.

소수 [[제타 함수]]이다.

이것은 다음의 무한 수열로 정의된다.

<math>P(n)=\sum_{p\,\in\mathrm{\,primes}} \frac{1}{p^n}</math>

<math> P(n) = \sum_{p \ \mathrm{prim}} \frac{1}{p^n} = \frac{1}{2^n} + \frac{1}{3^n} + \frac{1}{5^n} + \frac{1}{7^n} + \frac{1}{11^n} + \ldots </math>

<math> \sum_{p \ \text{Primzahl}} \frac{1}{p^2} = 0{,}45224742004106549850654336483224793417323134323989 \dots </math>

이것은 다음의 [[리만 제타 함수]]를 재정의할때에도 사용된다.
:<math>log \zeta(s) = \sum_{n>0} {{P(ns)}\over{n}}</math>

이것은 다음의 [[뫼비우스 함수]]로도 정의된다.
:<math> {P(s)}  = \sum_{n>0} {\mu(n)}{ {log \zeta(ns)}\over{n}}</math>

== 프라임 제타 함수 수치<!-- 오일러의 프라임 제타함수 --> ==

: <math> P(1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \ldots = \infty </math>
: <math> {P(2)} </math> = 0.452247420041065498506543364832247934173231343 (Folge A085548 in OEIS)
: <math> {P(3)} </math> = 0.174762639299443536423113314665706700975412121 (Folge A085541 in OEIS)
: <math> {P(4)} </math> = 0.076993139764246844942619295933157870162041059 (Folge A085964 in OEIS)

== 같이 보기 ==
* [[펠러-토르니어 상수]]
* [[알틴 상수]]
* [[뤼카 수]]
* [[오일러의 곱셈 공식]]
* [[글레이셔-킨켈린 상수]]

== 참고 ==
* {{저널 인용
|first1=C. W.
|last1=Merrifield
|title= The Sums of the Series of Reciprocals of the Prime Numbers and of Their Powers
|journal=Proceedings of the Royal Society
|volume=33
|pages=4–10
|year=1881
|doi=10.1098/rspl.1881.0063
|jstor = 113877
}}
* {{저널 인용| last1=Fröberg | first1=Carl-Erik | title=On the prime zeta function | mr=0236123 | year=1968 | journal=Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT) | volume=8 | issue=3|pages=187–202| doi=10.1007/BF01933420}}
* {{저널 인용|last=Glaisher|first= J. W. L. |title=On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers|journal=Quart. J. Math.|volume= 25|pages= 347–362|year= 1891|ref=harv}}
* {{ArXiv 인용
|first1=Richard J.
|last1=Mathar
|title=Twenty digits of some integrals of the prime zeta function
|eprint=0811.4739
|year=2008

}}
* {{저널 인용
|first1=Ji
|last1=Li
|title=Prime graphs and exponential composition of species
|year=2008
|volume=115
|journal=J. Combin. Theory A
|pages=1374—1401
|doi=10.1016/j.jcta.2008.02.008
|mr=2455584
}}
* {{ArXiv 인용
|first1=Richard J.
|last1=Mathar
|title=Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli
|eprint=1008.2547
|year=2010

}}

[[분류:소수]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]