풍성한 범주 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[범주론]]에서 '''풍성한 범주'''(豐盛-範疇, {{llang|en|enriched category}})는 "사상 집합"이 [[집합]] 대신 다른 [[모노이드 범주]]의 대상이 될 수 있는, [[범주 (수학)|범주]]의 개념의 일반화이다.

== 정의 ==
[[모노이드 범주]]
:<math>(\mathcal M,\otimes\colon\mathcal M\times\mathcal M\to\mathcal M,I\in\operatorname{Ob}(\mathcal M),\alpha\colon(\mathcal M\otimes\mathcal M)\otimes\mathcal M\Rightarrow\mathcal M\otimes(\mathcal M\otimes\mathcal M),\lambda\colon(I\otimes\mathcal M)\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal M},\rho\colon(\mathcal M\otimes I)\Rightarrow\operatorname{Id}_{\mathcal M})</math>
가 주어졌다고 하자. <math>\mathcal M</math> 위의 '''풍성한 범주'''({{llang|en|category enriched over <math>\mathcal M</math>}}) <math>\mathcal C</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[모임 (집합론)|모임]] <math>\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>. 이 모임의 원소를 <math>\mathcal C</math>의 '''대상'''({{llang|en|object}})이라고 한다.
* 임의의 <math>X,Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, <math>\hom_{\mathcal C}(a,b)\in\operatorname{Ob}(\mathcal M)</math>.
* 임의의 <math>X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, <math>\mathcal M</math>-사상 <math>\operatorname{id}_X\colon I\to\hom_{\mathcal C}(X,X)</math>. 이는 항등 사상을 나타낸다.
* 임의의  <math>X,Y,Z\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, <math>\mathcal M</math>-사상 <math>\circ_{XYZ}\colon\hom_{\mathcal C}(Y,Z)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)\to\hom_{\mathcal C}(X,Z)</math>. 이는 사상의 합성을 나타낸다.
이 데이터는 다음 세 그림을 가환하게 만들어야만 한다.
* (사상 합성의 [[결합 법칙]])
*:<math>\begin{matrix}
\left(\hom_{\mathcal C}(Z,W)\otimes\hom_{\mathcal C}(Y,Z)\right)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)&\xrightarrow{\circ_{YZW}\otimes\operatorname{id}}
&\hom_{\mathcal C}(Y,W)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)&\xrightarrow{\circ_{XYW}}&\hom_{\mathcal C}(X,W)\\
\downarrow\scriptstyle\alpha&&&&\downarrow\scriptstyle\operatorname{id}\\
\hom_{\mathcal C}(Z,W)\otimes\left(\hom_{\mathcal C}(Y,Z)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)\right)
&\xrightarrow[\operatorname{id}\otimes\circ_{XYZ}]{}
&\hom_{\mathcal C}(Z,W)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Z)
&\xrightarrow[\circ_{XZW}]{}
&\hom_{\mathcal C}(X,W)
\end{matrix}
</math>
* (사상 합성의 왼쪽 항등원)
*:<math>
\begin{matrix}
I\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)&\xrightarrow{\operatorname{id}_Y\otimes\operatorname{id}}&\hom_{\mathcal C}(Y,Y)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)\\
&{\scriptstyle\lambda}\searrow&\downarrow\scriptstyle\circ_{XYY}\\
&&\hom_{\mathcal C}(X,Y)
\end{matrix}
</math>
* (사상 합성의 오른쪽 항등원)
*:<math>
\begin{matrix}
\hom_{\mathcal C}(X,Y)\otimes I&\xrightarrow{\operatorname{id}\otimes\operatorname{id}_X}&\hom_{\mathcal C}(X,Y)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,X)\\
&{\scriptstyle\rho}\searrow&\downarrow\scriptstyle\circ_{XXY}\\
&&\hom_{\mathcal C}(X,Y)
\end{matrix}
</math>

=== 풍성한 함자 ===
[[모노이드 범주]] <math>\mathcal M</math> 위의 두 풍성한 범주 <math>\mathcal C</math>, <math>\mathcal D</math> 사이의 <math>\mathcal M</math>-'''풍성한 함자'''({{llang|en|<math>\mathcal M</math>-enriched functor}}) <math>F\colon\mathcal C\to\mathcal D</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 각 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, 대상 <math>F(X)\in\mathcal D</math>
* 두 대상 <math>X,Y\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>\mathcal M</math> 속의 사상 <math>F_{XY}\colon\hom_{\mathcal C}(X,Y)\to\hom_{\mathcal D}(F(X),F(Y))</math>
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* (항등원의 보존) 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여 다음 그림이 가환한다.
*:<math>\begin{matrix}
I\\
{\scriptstyle\operatorname{id}_X}\downarrow&\searrow
{\scriptstyle\operatorname{id}_{F(X)}}\\
\hom_{\mathcal C}(X,X)&\xrightarrow[F_{XX}]{}&\hom_{\mathcal D}(F(X),F(X))
\end{matrix}</math>
* (사상 합성의 보존) 임의의 대상 <math>X,Y,Z\in\mathcal C</math>에 대하여 다음 그림이 가환한다.
*:<math>\begin{matrix}
\hom_{\mathcal C}(Y,Z)\otimes\hom_{\mathcal C}(X,Y)&\xrightarrow\circ&\hom_{\mathcal C}(X,Z)\\
{\scriptstyle F_{YZ}\otimes F_{XY}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle F_{XZ}\\
\hom_{\mathcal D}(F(Y),F(Z))\otimes\hom_{\mathcal D}(F(X),F(Y))&\xrightarrow[\circ]{}&\hom_{\mathcal D}(F(X),F(Z))
\end{matrix}</math>

== 예 ==
[[국소적으로 작은 범주]]는 [[집합]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> 위의 풍성한 범주와 같다.

=== ''n''-범주 ===
[[작은 범주]]의 범주 <math>\operatorname{Cat}</math> 위의 풍성한 범주를 '''2-범주'''({{llang|en|2-category}})라고 한다. 보다 일반적으로, <math>n</math>-범주의 범주 <math>n\text{-Cat}</math> 위의 풍성한 범주를 '''<math>(n+1)</math>-범주'''({{llang|en|<math>(n+1)</math>-category}})라고 한다.

=== 선형 범주 ===
[[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]]들의 범주 <math>\operatorname{Mod}_R</math>는 [[텐서곱]]에 대하여 [[모노이드 범주]]를 이룬다. 이 위의 풍성한 범주는 '''<math>R</math>-선형 범주'''(-線型範疇, {{llang|en|<math>R</math>-linear category}})라고 한다.

=== 준가법 범주 ===
특히, <math>R=\mathbb Z</math> ([[정수환]])인 경우, <math>\operatorname{Mod}_R</math>는 [[아벨 군]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>와 같다. <math>\operatorname{Ab}</math>-풍성한 범주는 '''준가법 범주'''(準加法範疇, {{llang|en|preadditive category}})라고 하고, <math>\operatorname{Ab}</math>-풍성한 함자는 '''가법 함자'''(加法範疇, {{llang|en|additive functor}})라고 한다.

준가법 범주는 항상 [[영 대상]]을 가지며,  유한 [[곱 (범주론)|곱]]과 유한 [[쌍대곱]]이 일치한다.

'''가법 범주'''({{llang|en|additive category}})는 [[유한 완비 범주|유한 완비]] 준가법 범주이다. (준가법 범주에서 유한 [[곱 (범주론)|곱]]과 유한 [[쌍대곱]]이 일치하므로, [[유한 완비 범주]]인 것은 [[유한 쌍대 완비 범주]]인 것과 동치이다.)

== 같이 보기 ==
* [[내적 범주]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Kelly|이름=G. M.|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/10/tr10.pdf|제목=Basic Concepts of Enriched Category Theory|총서=London Mathematical Society Lecture Note Series|권=64|출판사=Cambridge University Press|날짜=1982|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Category}}
* {{eom|title=Higher-dimensional category}}
* {{nlab|id=enriched category theory|title=Enriched category theory}}
* {{nlab|id=enriched category|title=Enriched category}}
* {{nlab|id=enriched functor|title=Enriched functor}}
* {{nlab|id=strict n-category|title=Strict n-category}}
* {{nlab|id=linear category|title=Linear category}}
* {{nlab|id=linear functor|title=Linear functor}}
* {{nlab|id=preadditive category|title=Preadditive category}}
* {{nlab|id=additive functor|title=Additive functor}}
* {{nlab|id=Additive category|title=Additive category}}

{{전거 통제}}

[[분류:범주론]]