푸페 완전열 문서 원본 보기

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[[호모토피 이론]]에서 '''푸페 완전열'''(Puppe完全列, {{llang|en|Puppe exact sequence}})은 어떤 [[연속 함수]]로부터 유도되는 [[긴 완전열]]이다.

== 정의 ==
두 [[점을 가진 공간]]
:<math>(X,\bullet_X)</math>
:<math>(Y,\bullet_Y)</math>
사이의, 점을 보존하는 연속 함수
:<math>f\colon X\to Y</math>
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 [[사상뿔]]
:<math>\mathrm Cf = \frac{X \times \mathbb I \sqcup Y}\sim </math>
:<math>(x,0) \sim (x',0) \qquad\forall x,x'\in X</math>
:<math>(x,1) \sim f(x) \qquad\forall x\in X</math>
:<math>\bullet_{\mathrm Cf} = [(\bullet_X,1)]_\sim = [\bullet_Y]_\sim</math>
과 [[사상올]]
:<math>\mathrm Mf = \left \{ (x,\gamma) \in X \times\hom_\bullet(\mathbb I,Y) \colon
\gamma(1) = f(x) \right\} </math>
:<math>\bullet_{\mathrm Mf} = (\bullet_X, (t \mapsto \bullet_Y))</math>
을 정의할 수 있다. (여기서 <Math>\mathbb I = ([0,1], 0)</math>은 밑점 0을 가진 [[닫힌구간]]이다.) 만약 <math>f</math>가 [[올뭉치]]라면 사상올은 그 올과 [[호모토피 동치]]이며, 만약 <math>f</math>가 [[쌍대올뭉치]]라면 사상뿔은 그 쌍대올과 [[호모토피 동치]]이다.

이에 따라, 두 호모토피 [[짧은 완전열]]
:<math> \bullet \to \mathrm Mf \to X \to Y \to \bullet</math>
:<math> \bullet \to X \to Y \to \mathrm Cf \to \bullet</math>
을 정의할 수 있다. 즉, 합성 사상
:<math>\mathrm Mf \to Y</math>
:<math>(x,\gamma) \mapsto \gamma(1)</math>
은 상수 함수 <Math>(x,\gamma) \mapsto \bullet_Y</math>와 [[호모토픽]]하며, 합성 사상
:<math>X \to \operatorname Cf</math>
:<math>x \mapsto [(x,1)]</math>
역시 상수 함수와 [[호모토픽]]하다.

또한, [[축소 고리 공간]]의 포함 관계
:<math>\Omega Y \hookrightarrow \mathrm Mf</math>
:<math>\gamma \mapsto (\bullet_X,\gamma)</math>
와 [[축소 현수]]로의 몫 관계
:<math>\mathrm Cf \twoheadrightarrow \Sigma X</math>
:<math>(x,t) \mapsto [(x,t)]\qquad\forall (x,t)\in X\times\mathbb I</math>
:<math>y \mapsto \bullet_{\Sigma X}\qquad\forall y\in Y</math>
를 사용하여, 더 긴 열
:<math>\Omega Y \to \mathrm Mf \to X\to Y</math>
:<math>X \to Y \to \mathrm Cf \to \Sigma X</math>
을 정의할 수 있다. 이제, [[축소 고리 공간]]과 [[축소 현수]]의 [[함자 (수학)|함자성]]을 통해 열
:<math>\Omega X \,\xrightarrow{\Omega f}\, \Omega Y \hookrightarrow \mathrm Mf \to X \,\xrightarrow f\,Y</math>
:<math>X \,\xrightarrow f\,Y \to  \mathrm Cf \twoheadrightarrow \Sigma X\,\xrightarrow{\Sigma f}\,\Sigma Y</math>
을 정의할 수 있으며, 이 역시 [[완전열]]임을 보일 수 있다. 또한,
:<math>\Sigma \mathrm Cf \simeq \mathrm C \Sigma f</math>
:<math>\Omega \mathrm Mf \simeq \mathrm M \Omega f</math>
가 성립한다. 따라서, 이 과정을 반복하여 무한히 긴 호모토피 완전열
:<math>\dotsb \to \Omega^2\mathrm Mf \to \Omega^2 X \to \Omega^2 Y \to \Omega \mathrm Mf \to \Omega X \to \Omega Y \to \mathrm Mf \to X \to Y</math>
:<math>X \to Y \to \mathrm Cf \to \Sigma X \to \Sigma Y \to \Sigma \mathrm Cf \to \Sigma^2 X \to \Sigma^2 Y \to \Sigma^2 \mathrm Cf \to \dotsb</math>
을 정의할 수 있다. (여기서 ‘호모토피 완전열’이란 두 사상의 합성이 밑점으로의 [[상수 함수]]와 [[호모토픽]]함을 뜻한다.) 이를 '''푸페 완전열'''이라고 한다.

== 예 ==
푸페 완전열
:<math>\dotsb \to \Omega^2\mathrm Mf \to \Omega^2 X \to \Omega^2 Y \to \Omega \mathrm Mf \to \Omega X \to \Omega Y \to \mathrm Mf \to X \to Y</math>
에서, 성분별 0차 [[호모토피 군]]을 취하자. <math>\pi_n(X) = \pi_0(\Omega^n X)</math>를 사용하면, 이는 군의 [[완전열]]
:<math>\dotsb \to \pi_2(\mathrm Mf) \to \pi_2(X) \to \pi_2(Y) \to \pi_1(\mathrm Mf) \to \pi_1(X) \to \pi_1(Y) \to \pi_0(\mathrm Mf) \to \pi_0(X) \to \pi_0(Y)</math>
을 얻는다. (물론, <math>\pi_0</math>에 대한 마지막 항들은 일반적으로 [[군 (수학)|군]]이 아니다.)

특히, <math>X</math>가 <math>Y</math>의 (점을 공유하는) 부분 공간이라고 하자. 그렇다면, 이 경우 [[사상올]]
:<math>\mathrm Mf = \{\gamma \in \hom_\bullet(\mathbb I,Y) \colon \gamma(1) \in X\}</math>
의 [[호모토피 군]]이 [[상대 호모토피 군]]과 동형임을 보일 수 있다.
:<math>\pi_n(\mathrm Mf) \cong \pi_{n+1}(Y,X)</math>
즉, 이 경우 푸페 완전열은 상대 호모토피 완전열
:<math>\dotsb \to \pi_3(Y,X) \to \pi_2(X) \to \pi_2(Y) \to \pi_2(Y,X) \to \pi_1(X) \to \pi_1(Y) \to \pi_1(Y,X) \to \pi_0(X) \to \pi_0(Y)</math>
과 같다.

== 역사 ==
[[디터 푸페]]가 도입하였다.

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=fiber sequence|title=Fiber sequence}}
* {{nlab|id=cofiber sequence|title=Cofiber sequence}}
* {{nlab|id=long exact sequence of homotopy groups|title=Long exact sequence of homotopy groups}}

{{전거 통제}}

[[분류:호모토피 이론]]