푸앵카레 원판 문서 원본 보기

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[[파일:Hyperbolic domains 642.png|섬네일|푸앵카레 원판에서의 측지선들.]]
[[기하학]]에서 '''푸앵카레 원판'''({{llang|en|Poincaré disc}}) 또는 '''푸앵카레 공'''({{llang|en|Poincaré ball}})은 [[원판]] 또는 [[공 (수학)|공]] 모양의 [[쌍곡공간]]의 모형이다.

== 역사 ==
[[앙리 푸앵카레]]의 이름이 붙어 있으나, 사실 [[에우제니오 벨트라미]]가 최초로 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Eugenio|성=Beltrami|제목=Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante|저널=Annali. di Mat., ser II|권=2|날짜=1868|쪽=232-255|언어=it}}</ref> 벨트라미는 이 모형으로 [[비유클리드 기하학]]의 일관성을 증명하였다.

== 정의 ==
''n''차원 '''푸앵카레 공'''은 다음과 같은 계량이 주어진 단위 열린 [[공 (수학)|공]]
:<math>B=\left\{x\in\mathbb R^n\colon\sum_{i=1}^nx_i^2<1\right\}</math>
이다. 여기에 주어진 [[리만 계량]]은 다음과 같다.
:<math>ds^2=4\frac{\sum_{i=1}^ndx_i^2}{1-\sum_{i=1}^nx^2}</math>
구체적으로, 두 점 <math>x,y\in B</math> 사이의 거리는 다음과 같다.
:<math>d(x,y)=\cosh^{-1}\left(1+\frac{2\Vert x-y\Vert^2}{(1-\Vert x\Vert^2)(1-\Vert y\Vert^2)}\right)</math>
2차원 푸앵카레 공은 '''푸앵카레 원판'''이라고 한다.

== 성질 ==
쌍곡기하학의 기하학적인 개념들은 푸앵카레 공에서 다음과 같이 구현된다.
{| class="wikitable"
|-
! 쌍곡기하학적 개념 !! 푸앵카레 공에서의 구현
|-
| 무한대 || 공의 경계 <math>\partial B</math>
|-
| [[측지선]] || 공의 경계와 수직으로 교차하는 원호
|-
| 측지선에 대한 반사 || 원에 대한 [[반전기하학|반전]]
|}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=James W.|성=Anderson|제목=Hyperbolic Geometry|판=2판|출판사=Springer|날짜=2005}}
== 같이 보기 ==
* [[푸앵카레 반평면]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Poincaré model}}

{{전거 통제}}

[[분류:쌍곡기하학]]
[[분류:고차원 기하학]]