푸앵카레 쌍대성 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]에서 '''푸앵카레 쌍대성'''(Poincaré雙對性, {{llang|en|Poincaré duality}})은 [[호몰로지]] 군과 [[코호몰로지]] 군에 대한 대응성이다.
== 정의 ==
=== 정수 계수 ===
<math>M</math>이 (경계가 없는) [[콤팩트 공간|콤팩트]] <math>n</math>차원 [[유향 다양체]]라고 하자. 그렇다면, 그 [[방향 (다양체)|방향]]은 [[기본류]]
:<math>[M] \in \operatorname H_n(M;\mathbb Z)</math>
를 정의한다.

그렇다면, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname H^k(M;\mathbb Z)\to H_{n-k}(M;\mathbb Z)</math>
:<math>[\alpha] \mapsto[M]\smile [\alpha]</math>
여기서 <math>\smile</math>은 호몰로지류와 코호몰로지류의 [[합곱]]이다.

이 사상은 [[아벨 군]]의 [[동형 사상]]을 이루며, 이를 '''푸앵카레 쌍대성'''이라고 한다.


[[베티 수]] <math>b_k</math>는 호몰로지 및 코호몰로지의 차원이므로, 다음이 성립한다.
:<math>b_k=b_{n-k}</math>.

정수 계수에서 성립하므로, 사실 위의 푸앵카레 쌍대성은 임의의 [[아벨 군]] 계수에 대하여 마찬가지로 성립한다.

=== 𝔽₂ 계수 ===
<math>M</math>이 (경계가 없는) [[콤팩트 공간|콤팩트]] <math>n</math>차원 [[다양체]] <math>M</math>이 주어졌다고 하자. (<math>M</math>이 [[가향 다양체]]일 필요가 없다.)

이 경우, [[기본류]]는 <math>\mathbb F_2</math> 계수에서 잘 정의된다.
:<math>[M] \in \operatorname H_n(M;\mathbb F_2)</math>
이 경우, 마찬가지로 다음과 같은, <math>\mathbb F_2</math>-[[벡터 공간]]의 [[동형 사상]]이 존재한다.
:<math>\operatorname H^k(M;\mathbb F_2) \to \operatorname H_{n-k}(M;\mathbb F_2)</math>
:<math>[\alpha]\mapsto[M]\smile[\alpha]</math>

== 성질 ==
짝수 <math>2k</math>차원 콤팩트 다양체 <math>M</math>이 주어졌다고 하자. 또한, 다음과 같은 두 경우를 생각하자.
* <math>K=\mathbb Z</math>이며, <math>M</math>은 [[유향 다양체]]
* <math>K=\mathbb F_2</math>
두 경우 다 기본류 <math>[M] \in \operatorname H_{2k}(M;K)</math>가 존재한다. 이 경우, 푸앵카레 쌍대성에 의하여, <Math>K</math>-[[가군]] <Math>\operatorname H_k(M;K)</math> 위에 다음과 같은 [[이차 형식]]이 존재한다.
:<math>\operatorname H_k(M;K) \otimes \operatorname H_k(M;K) \to K</math>
:<math>([M]\smile [\alpha]) \otimes ([M]\smile[\beta]) \mapsto [M]\smile([\alpha]\frown[\beta])</math>
이를 <math>M</math>의 '''교차 형식'''({{llang|en|intersection form}})이라고 한다.

== 역사 ==
[[앙리 푸앵카레]]가 1893년에 [[베티 수]]에 대한 관계로 제시하였다. 푸앵카레는 1895년에 푸앵카레 쌍대성의 증명을 발표하였으나,<ref>Henri Poincaré, ''[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4337198/f7.image Analysis Situs]'', ''Journal de l'École Polytechnique'' ser 2, '''1''' (1895) pages 1–123.</ref> 덴마크의 수학자 포울 헤고르({{llang|da|Poul Heegaard}})가 오류를 지적하였다. 푸앵카레는 이 논문의 속편에서 수정한 다른 증명을 발표하였다.

1930년대에 [[코호몰로지]]가 발견되면서, 푸앵카레 쌍대성이 베티 수를 넘어서 [[호몰로지]]와 [[코호몰로지]] 사이의 관계라는 사실이 밝혀졌다.

== 같이 보기 ==
* [[브뤼아 분해]]
* [[기본류]]
* [[바일 군]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{eom|title=Poincaré duality}}
* {{매스월드|id=PoincareDuality|title=Poincaré duality}}
* {{nlab|id=Poincaré duality}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:대수기하학 정리]]