푸앵카레-벤딕손 정리 문서 원본 보기

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[[동역학계 이론|동적계 이론]]에서 '''푸앵카레-벤딕손 정리'''({{llang|en|Poincaré–Bendixson theorem}})는 2차원 평면 위의 연속 시간 [[동역학계|동적계]]에서는 [[혼돈 (수학)|혼돈]]이 일어나지 않는다는 정리이다.

== 정의 ==
<math>U\subseteq\mathbb R^2</math>가 평면 속의 [[열린집합]]이라고 하자. <math>U</math> 위의 2차원 연속 시간 [[동역학계]]
:<math>\Phi\colon\mathbb R\times U\to U</math>
:<math>\Phi(t,\Phi(t',x))=\Phi(t+t',x)\qquad\forall t,t'\in\mathbb R,\;x\in U</math>
가 <math>\mathcal C^1</math> 함수라고 하자.

<math>x\in U</math>의 '''궤도'''({{llang|en|orbit}}) <math>\gamma(x)</math>는 다음과 같다.
:<math>\gamma(x):=\{\Phi(t,x)\colon t\in\mathbb R\}</math>
<math>x\in U</math>의 '''ω<sub>+</sub>-[[극한 집합]]'''({{llang|en|ω<sub>+</sub>-limit set}}) <math>\omega_+(x)</math>은 다음과 같다.
:<math>\omega_+(x):=\left\{y\in U\colon\exists(t_i)_{i\in\mathbb N}\colon \lim_{i\to\infty}t_i=\infty,\;\lim\Phi(t_i,x)=y\right\}</math>
<math>x\in U</math>의 '''ω<sub>&minus;</sub>-[[극한 집합]]'''({{llang|en|ω<sub>&minus;</sub>-limit set}}) <math>\omega_-(x)</math>은 다음과 같다.
:<math>\omega_-(x):=\left\{y\in U\colon\exists(t_i)_{i\in\mathbb N}\colon \lim_{i\to\infty}t_i=-\infty,\;\lim\Phi(t_i,x)=y\right\}</math>

<math>\omega_+(x)</math>가 다음 네 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>\omega_+(x)\ne\varnothing</math>
* <math>\omega_+(x)</math>는 [[콤팩트 집합]]이다.
* <math>\omega_+(x)</math>는 [[연결 공간]]이다.
* <math>\omega_+(x)</math>에 속하는 [[고정점]]은 유한 개이다.
그렇다면, '''푸앵카레-벤딕손 정리'''에 따르면 다음 세 조건 가운데 하나가 성립한다.<ref name="Teschl">{{서적 인용| last = Teschl| given = Gerald| title = Ordinary differential equations and dynamical systems| publisher=American Mathematical Society| | year = 2012| isbn= 978-0-8218-8328-0| url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/|언어=en}}</ref>{{rp|223, Theorem 7.16}}
* <math>\omega_+(x)=\{x_1\}</math>는 [[고정점]]이다.
* <math>\omega_+(x)=\gamma(y)</math>는 (양의 주기를 갖는) 주기적 궤도이다. 즉, <math>\Phi(t,y)=y</math>인 <math>t>0</math>가 존재한다.
* <math>\omega_+(x)=\{x_1,\dots,x_k\}\cup\gamma(y_1)\cup\cdots\cup\gamma(y_n)</math>는 유한 개의 고정점 <math>x_1,\dots,x_k</math>과 비주기 궤도 <math>\gamma(y_1),\dots,\gamma(y_n)</math>들로 구성되며, 모든 <math>i=1,\dots,n</math> 및 <math>\sigma\in\{+,-\}</math>에 대하여, <math>\omega_\sigma(y_i)=\{x_{j(\sigma,i)}\}</math>가 되는 <math>j\colon\{+,-\}\times\{1,\dots,n\}\to\{1,\dots,k\}</math>가 존재한다. 즉, 각 <math>\gamma(y_i)</math>는 <math>x_{j(-,i)}</math>에서 <math>x_{j(+,i)}</math>로 가는 궤도이다.

<math>\omega_-</math>에 대해서도 마찬가지 정리가 성립한다.

=== 1차원 푸앵카레-벤딕손 정리 ===
푸앵카레-벤딕손 정리는 1차원에서도 (자명하게) 성립한다.<ref name="Teschl"/>{{rp|277, Problem 7.9}} 즉, <math>\mathbb R</math>의 [[열린집합]] 위에서의 연속 시간 <math>\mathcal C^1</math> 동역학계에서, 공집합이 아닌, 유한 개의 고정점을 포함하는 콤팩트 연결 <math>\omega_+</math>-[[극한 집합]]은 다음 두 가지 가운데 하나이다.
* <math>\omega_+(x)=\{x_1\}</math>은 고정점이다.
* <math>\omega_+(x)=[x_0,x_1]</math>에서, <math>x_0</math>과 <math>x_1</math>은 고정점이며, <math>\gamma(y)=(x_0,x_1)</math>인 <math>y\in(x_0,x_1)</math>가 존재한다.
이는 "1차원 벡터장"(=실수 함수)의 [[중간값 정리]]의 보조 정리이다.

== 예 ==
푸앵카레-벤딕손 정리는 평면의 부분 집합에서만 성립한다. 예를 들어, [[원환면]] 위에서는 콤팩트 [[조밀 집합|조밀]] 비주기 궤도가 존재할 수 있다. 이 경우, <math>\omega_+</math>-[[극한 집합]]은 원환면 전체가 된다.

푸앵카레-벤딕손 정리는 3차원 이상에서 성립하지 않는다. 3차원 이상에서는 [[로렌즈 방정식]]과 같이 [[야릇한 끌개]]가 존재할 수 있다.

푸앵카레-벤딕손 정리는 이산 시간 동적계에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, [[로지스틱 사상]]은 [[혼돈 (수학)|혼돈]] 현상을 보이지만, 1차원 계이다.

== 역사 ==
[[앙리 푸앵카레]]<ref>{{저널 인용|last=Poincaré|first=Henri|저자링크=앙리 푸앵카레|제목=Sur les courbes définies par une équation différentielle|날짜=1880|저널=Comptes rendus de l’Académie des sciences|권=90|쪽=673–675|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3047v/f670n3.capture|jfm=12.0588.01|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Poincaré|first=Henri|저자링크=앙리 푸앵카레|제목=Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle|날짜=1881|저널=Journal de mathématiques pures et appliquées (série 3)|권=7|쪽=375–422|url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1881_3_7_A20_0.pdf|jfm=13.0591.01|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Poincaré|first=Henri|저자링크=앙리 푸앵카레|제목=Sur les courbes définies par les équations différentielles|날짜=1882|저널=Comptes rendus de l’Académie des sciences|권=93|쪽=951–952|jfm=13.0591.02|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3049g/f945n2.capture|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Poincaré|first=Henri|저자링크=앙리 푸앵카레|제목=Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle (deuxième partie)|날짜=1882|저널=Journal de mathématiques pures et appliquées (série 3)|권=8|쪽=251–296|url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1882_3_8_A10_0.pdf|jfm=14.0666.01|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Poincaré|first=Henri|저자링크=앙리 푸앵카레|제목=Sur les courbes définies par les équations différentielles|날짜=1884|저널=Comptes rendus de l’Académie des sciences|권=98|쪽=287–289|jfm=16.0294.01|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Poincaré|first=Henri|저자링크=앙리 푸앵카레|제목=Sur les courbes définies par les équations différentielles (troisième partie)|날짜=1885|저널=Journal de mathématiques pures et appliquées (série 4)|권=1|쪽=167–244|url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1885_4_1_A6_0.pdf|jfm=17.0680.01|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|last=Poincaré|first=Henri|저자링크=앙리 푸앵카레|제목=Sur les courbes définies par les équations différentielles (quatrième partie)|날짜=1886|저널=Journal de mathématiques pures et appliquées (série 4)|권=2|쪽=151–211|jfm=18.0314.01|url=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1886_4_2_A5_0.pdf|언어=fr}}</ref> 가 1880년대에 제시하였지만, 엄밀한 증명을 제시하지 않았다. 이후 1901년에  이바르 오토 벤딕손({{llang|sv|Ivar Otto Bendixson}})이 엄밀한 증명을 제시하였다.<ref>{{저널 인용|last=Bendixson|first=Ivar Otto|title= Sur les courbes définies par des équations différentielles
|journal=Acta Mathematica|volume =24|issue=1 |year= 1901|doi=10.1007/BF02403068|pages=1–88|jfm=31.0328.03|언어=fr}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[회전수]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Poincaré-Bendixson theory}}

{{전거 통제}}

[[분류:동역학계]]