푸아송 방정식 문서 원본 보기

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'''푸아송 방정식'''(Poisson方程式, {{llang|en|Poisson’s equation}})은 2차 [[편미분 방정식]]의 하나다. [[라플라스 방정식]]을 일반화한 것이다. [[시메옹 드니 푸아송]]의 이름을 땄다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 다양체 <math>M</math> 위에서, <math>f</math>가 <math>M</math> 위에 주어진 함수라고 하자. 그렇다면 '''푸아송 방정식'''은 미지 함수 <math>\phi</math>에 대한 다음과 같은 2차 [[편미분 방정식]]이다.
:<math>\Delta\phi=f</math>
여기서 <math>\Delta</math>는 [[라플라스-벨트라미 연산자]]이며, 이는 <math>M</math>이 평탄할 때 [[라플라스 연산자]]와 같다.

== 그린 함수 ==
푸아송 방정식은 [[그린 함수]]를 사용하여 풀 수 있다. <math>n</math>차원 유클리드 공간에서 푸아송 방정식의 [[그린 함수]] <math>G_n(\mathbf r)</math>는 다음과 같다.
:<math>G_1(r)=-\frac{|r|}2</math>
:<math>G_2(\mathbf r)=-\frac{\ln(\Vert\mathbf r\Vert)}{2\pi}</math>
:<math>G_n(\mathbf r)=\frac1{V_n\Vert\mathbf r\rVert^{n-2}}</math> (<math>n>2</math>)
여기서
:<math>V_n=2\pi^{n/2}/\Gamma(n/2)</math>
은 반지름이 1인 <math>n-1</math>차원 [[초구]]의 (초)면적이고, <math>\Gamma</math>는 [[감마 함수]]다. 예를 들어
:<math>V_1=2</math>
:<math>V_2=2\pi</math>
:<math>V_3=4\pi</math>
:<math>V_4=2\pi^2</math>
이다. 그린 함수 <math>G_n</math>은 다음을 만족시킨다.
:<math>\Delta G_n(\mathbf r)=-\delta^{(n)}(\mathbf r)</math>
여기서 <math>\delta^{(n)}</math>는 <math>n</math>차원 [[디랙 델타 함수]]다.

== 응용 ==
[[전자기학]]에서, 주어진 전하 분포가 발생시키는 [[전위]]를 계산할 때 쓰인다. 이 경우 <math>f</math>는 주어진 [[전하 밀도]]이고, <math>\phi</math>는 [[전위]]로 해석한다.
== 같이 보기 ==
* [[헬름홀츠 방정식]]
* [[조화 함수]]
* [[열 방정식]]
* [[퍼텐셜 이론]]

{{전거 통제}}

[[분류:퍼텐셜 이론]]
[[분류:편미분 방정식]]
[[분류:정전기학]]
[[분류:물리학 방정식]]
[[분류:수리물리학]]