푸비니 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|푸비니의 미분 정리||단조함수항 급수의 항별 미분에 관한 정리}}
{{미적분학}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''푸비니 정리'''(-定理, {{llang|en|Fubini’s theorem}}) 또는 '''푸비니-토넬리 정리'''(-定理, {{llang|en|Fubini-Tonelli theorem}})는 [[이중 적분]]은 두 번의 일변수 적분을 통해 구할 수 있고, 이는 두 변수에 대한 적분의 순서와 무관하다는 정리이다.

== 정의 ==
=== 추이 측도로 유도된 측도의 경우 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* [[시그마 유한 측도]] 공간 <math>(X,\mathcal F,\mu)</math>
* [[가측 공간]] <math>(Y,\mathcal G)</math>
* [[시그마 유한 추이 측도]] <math>\nu\colon X\times\mathcal G\to[0,\infty]</math>
그렇다면, 곱 가측 공간 <math>(X\times Y,\mathcal F\times\mathcal G)</math> 위에 다음 조건을 만족시키는 유일한 측도 <math>\mu\times\nu</math>가 존재하며, 이는 [[시그마 유한 측도]]를 이룬다.
:<math>(\mu\times\nu)(A\times B)=\int_A\nu(x,B)\mathrm d\mu(x)\qquad(\forall A\in\mathcal F,\;B\in\mathcal G)</math>
구체적으로 이 측도는 다음과 같다.
:<math>(\mu\times\nu)(S)=\int_X\nu(x,\{y\in Y\colon(x,y)\in S\})\mathrm d\mu(x)\qquad(\forall S\in\mathcal F\times\mathcal G)</math>
또한, '''일반화 푸비니 정리'''(一般化-定理, {{llang|en|generalized Fubini’s theorem}})에 따르면, 다음이 성립한다.
* 임의의 음이 아닌 [[가측 함수]] <math>f\colon X\times Y\to([0,\infty),\mathcal B([0,\infty)))</math>에 대하여, 다음 함수는 [[가측 함수]]이다.
*:<math>(X,\mathcal F)\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty]))</math>
*:<math>x\mapsto\int_Yf(x,y)\mathrm d\nu(x,\cdot)(y)</math>
* 임의의 [[가측 함수]] <math>f\colon X\times Y\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>의 적분이 [[확장된 실수]]로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 <math>f</math>가 <math>(\mu\times\nu)</math>-적분 가능하다면, 거의 모든 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>y\mapsto f(x,y)</math>는 <math>\nu(x,\cdot)</math>-적분 가능하다.)<ref name="Bogachev2">{{서적 인용
|성=Bogachev
|이름=Vladimir I.
|제목=Measure theory. Volume II
|출판사=Springer
|언어=en
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2007
|isbn=978-3-540-34513-8
|doi=10.1007/978-3-540-34514-5
|lccn=2006933997
}}</ref>{{rp|384–385, Theorem 10.7.2}}
*:<math>\int_{X\times Y}f\mathrm d(\mu\times\nu)=\int_X\mathrm d\mu(x)\int_Yf(x,y)\mathrm d\nu(x,\cdot)(y)</math>

=== 곱측도의 경우 ===
두 [[시그마 유한 측도]] 공간 <math>(X,\mathcal F,\mu)</math>와 <math>(Y,\mathcal G,\nu)</math>가 주어졌다고 하자. 또한 <math>(X\times Y,\mathcal F\times\mathcal G,\mu\times\nu)</math>가 [[곱측도]] 공간이라고 하자. '''푸비니 정리'''에 따르면, 다음이 성립한다.<ref name="Rudin">{{서적 인용
|성=Rudin
|이름=Walter
|제목=Real and Complex Analysis
|언어=en
|판=3판
|출판사=McGraw-Hill
|날짜=1987
|isbn=978-0-07-054234-1
|mr=0924157
|zbl=0925.00005
|url=http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|확인날짜=2014-10-06
|보존url=https://web.archive.org/web/20141006084256/http://www.mcgraw-hill.com.sg/html/9780070542341.html
|보존날짜=2014-10-06
|url-status=dead
}}</ref>{{rp|164–165}}
* 임의의 음이 아닌 [[가측 함수]] <math>f\colon X\times Y\to([0,\infty),\mathcal B([0,\infty)))</math>에 대하여, 다음 두 함수는 [[가측 함수]]이다.
*:<math>(X,\mathcal F)\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty]))</math>
*:<math>x\mapsto\int_Yf(x,y)\mathrm d\nu(y)</math>
*:<math>(Y,\mathcal G)\to([0,\infty],\mathcal B([0,\infty]))</math>
*:<math>y\mapsto\int_Xf(x,y)\mathrm d\mu(x)</math>
* 임의의 [[가측 함수]] <math>f\colon X\times Y\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))</math>에 대하여, 만약 <math>f</math>의 적분이 [[확장된 실수]]로서 존재한다면, 다음이 성립한다.  (특히, 만약 <math>f</math>가 <math>(\mu\times\nu)</math>-적분 가능하다면, 거의 모든 <math>x\in X</math>에 대하여 <math>y\mapsto f(x,y)</math>는 <math>\nu</math>-적분 가능하며, 거의 모든 <math>y\in Y</math>에 대하여 <math>x\mapsto f(x,y)</math>는 <math>\mu</math>-적분 가능하다.)<ref name="Bogachev1">{{서적 인용
|성=Bogachev
|이름=Vladimir I.
|제목=Measure theory. Volume I
|출판사=Springer
|언어=en
|위치=Berlin, Heidelberg
|날짜=2007
|isbn=978-3-540-34513-8
|doi=10.1007/978-3-540-34514-5
|lccn=2006933997
}}</ref>{{rp|185, Theorem 3.4.4}}
*:<math>\int_{X\times Y}f\mathrm d(\mu\times\nu)
=\int_X\mathrm d\mu(x)\int_Yf(x,y)\mathrm d\nu(y)
=\int_Y\mathrm d\nu(y)\int_Xf(x,y)\mathrm d\mu(x)
</math>
이는 [[추이 측도]]에 대한 결과에서 다음 두 추이 측도를 취하여 얻는 특수한 경우이다.
:<math>X\times\mathcal G\to[0,\infty]</math>
:<math>(x,B)\mapsto\nu(B)</math>
:<math>Y\times \mathcal F\to[0,\infty]</math>
:<math>(y,A)\mapsto\mu(A)</math>

=== 리만 적분 ===
{{참고|중적분#누차 적분과의 관계}}
직사각형 <math>[a,b]\times[c,d]\subseteq\mathbb R</math> 위에 정의된 함수 <math>f\colon[a,b]\times[c,d]\to\mathbb R</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
* <math>f</math>는 <math>[a,b]\times[c,d]</math> 위에서 [[리만 적분]] 가능하다.
* 임의의 <math>x\in[a,b]</math>에 대하여, <math>y\mapsto f(x,y)</math>는 <math>[c,d]</math> 위에서 리만 적분 가능하다.
* 임의의 <math>y\in[a,b]</math>에 대하여, <math>x\mapsto f(x,y)</math>는 <math>[a,b]</math> 위에서 리만 적분 가능하다.
그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="김락중">{{서적 인용
|저자1=김락중
|저자2=박종안
|저자3=이춘호
|저자4=최규흥
|제목=해석학 입문
|판=3
|출판사=경문사
|날짜=2007
|isbn=978-8-96-105054-8
}}</ref>{{rp|376}}
* <math>x\mapsto\int_c^df(x,y)\mathrm dy</math>와 <math>y\mapsto\int_a^bf(x,y)\mathrm dx</math>는 <math>[a,b]</math> 위에서 리만 적분 가능하다.
* <math>\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy=\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy=\int_c^d\mathrm dy\int_a^bf(x,y)\mathrm dx</math>
{{증명}}
[[다르부 적분]]의 정의에 따라, 임의의 <math>x\in[a,b]</math>에 대하여 리만 적분
:<math>\int_c^df(x,y)\mathrm dy</math>
가 존재한다는 가정 아래 다음 부등식이 성립함을 보일 수 있다.
:<math>\operatorname L\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy
\le\operatorname L\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy
\le\operatorname U\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy
\le\operatorname U\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy
</math>
여기서 <math>\operatorname U</math>와 <math>\operatorname L</math>은 각각 [[다르부 상적분]]과 [[다르부 하적분]]을 나타낸다. 따라서 만약 추가로 <math>f</math>가 <math>[a,b]\times[c,d]</math>에서 리만 적분 가능할 경우 위 네 식이 모두 같아지므로 리만 적분
:<math>\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy</math>
가 존재하며
:<math>\iint_{[a,b]\times[c,d]}f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy=\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy</math>
이다. 남은 절반의 증명은 유사하다.
{{증명 끝}}

==== 이상 적분 ====
{{참고|중적분#이상 중적분의 성질}}
[[확장된 실수]] <math>a<b</math> 및 실수 <math>c<d</math> 및 함수 <math>f\colon(a,b)\times[c,d]\to\mathbb R</math>가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
* <math>f</math>는 [[연속 함수]]이다.
* [[이상 적분]] <math>\int_a^bf(x,y)\mathrm dx</math>는 <math>y\in[c,d]</math> 위에서 [[균등 수렴]]한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.<ref name="김락중" />{{rp|391}}
* 이상 적분 <math>\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy</math>가 존재한다.
* <math>\int_c^d\mathrm dy\int_a^bf(x,y)\mathrm dx=\int_a^b\mathrm dx\int_c^df(x,y)\mathrm dy</math>
그 밖에도 다양한 꼴의 이상 적분에 대하여 유사한 결론이 성립한다.

== 역사 ==
[[이탈리아]]의 수학자 [[귀도 푸비니]]의 이름이 붙어 있다.

== 같이 보기 ==
* [[카발리에리의 원리]]
* [[쿠라토프스키-울람 정리]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://www.scienceall.com/%ED%91%B8%EB%B9%84%EB%8B%88%EC%9D%98-%EC%A0%95%EB%A6%ACfubinis-theorem/|제목=푸비니(의) 정리(fubini’s theorem)|웹사이트=사이언스올|날짜=2015-09-09|확인날짜=2020-09-20}}{{깨진 링크|url=https://www.scienceall.com/%ED%91%B8%EB%B9%84%EB%8B%88%EC%9D%98-%EC%A0%95%EB%A6%ACfubinis-theorem/ }}
* {{eom|제목=Fubini theorem}}
* {{매스월드|id=FubiniTheorem|제목=Fubini theorem}}
* {{매스월드|id=FubiniTheorem|title=Fubini theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=fubinistheorem|title=Fubini’s theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=fubinistheoremforthelebesgueintegral|title=Fubini's theorem for the Lebesgue integral}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfFubinisTheoremForTheLebesgueIntegral|title=Proof of Fubini's theorem for the Lebesgue integral}}

[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:측도론 정리]]