푸비니-슈투디 계량 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''푸비니-슈투디 계량'''({{lang|en|Fubini–Study metric}})은 에르미트 형식이 부여된 복소 [[사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^{n}</math>에 주어지는 [[켈러 다양체|켈러 계량]]이다. <math>\mathbb{C}^{n+1}</math>의 에르미트 형식은 <math>\text{GL}(n+1,\mathbb{C})</math>의 유니터리 부분 군 <math>\text{U}(n+1)</math>를 정의한다. 푸비니–슈투디 계량은 이러한 <math>\text{U}(n+1)</math> 군 작용에서 불변성에 의해 결정된다. 따라서 [[동차 공간|동차]]이다. 푸비니–슈투디 계량을 갖춘 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>은 [[대칭 공간]]이다. 계량의 정규화는 상황에 따라 다르다. [[리만 기하학]]에서는 푸비니–슈투디 계량이 단순히 [[초구|(''2n'' +1)차원 초구]]의 표준 계량과 관련되도록 정규화 한다. [[대수기하학|대수 기하학]]에서는 정규화를 사용하여 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>을 [[켈러 다양체|호지 다양체]]로 만든다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 복소수 [[사영 공간]] <math>\mathbb{CP}^{n}</math>에 [[동차좌표]] <math>Z_0,Z_1,\dots,Z_n</math>을 부여하고, 벡터
:<math>\mathbf z=Z_0^{-1}(Z_1,\dots,Z_n)\in\mathbb C^n</math>
로 나타내자. 그렇다면 푸비니-슈투디 계량의 켈러 퍼텐셜은
:<math>K=\ln(1+\mathbf z\cdot\bar{\mathbf z})</math>
이다. 즉, 그 [[리만 계량]]은
:<math>ds^2=\frac{(1+\mathbf z\cdot\bar{\mathbf z})d\mathbf z\cdot d\bar{\mathbf z}
-(\bar{\mathbf z}\cdot d\mathbf z)(\mathbf z\cdot d\bar{\mathbf z})}{(1+\mathbf z\cdot\bar{\mathbf z})^2}</math>
이다.

=== 구의 계량과의 관계 ===
복소수 [[사영 직선]]([[리만 구]])은 위상수학적으로 2차원 [[구 (기하학)|구]]이다. 이 경우, 푸비니-슈투디 계량은
:<math>ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1+r^2)^2}=\frac14(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)</math>
이므로, 이는 반지름이 1/2인 구를 나타내는 것을 알 수 있다. 따라서 그 [[가우스 곡률]]은 4이다.

== 구성 ==
푸비니–슈투디 계량은 복소 사영 공간의 [[몫공간|몫 공간]] 구성에서 자연스럽게 발생한다.

구체적으로, '''<math>\mathbb{CP}^{n}</math>'''을 <math>\mathbb{C}^{n+1}</math>의 모든 복소수 [[동치관계|직선]]들로 구성된 공간으로 '''정의''' 할 수 있다. 이것은 곱셈 군 <math>\mathbb{C}^{*}:=\mathbb{C}\setminus\{0\}</math>의 [[군의 작용|대각 군 작용]]에 의한 몫과 일치한다:

: <math>\mathbf{CP}^n = \left\{ \mathbf{Z} = [Z_0,Z_1,\ldots,Z_n] \in {\mathbf C}^{n+1}\setminus\{0\}\, \right\} / \{ \mathbf{Z} \sim c\mathbf{Z}, c \in \mathbf{C}^* \}.</math>

이 몫은 <math>\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}</math>을 기본 공간 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>에 대한 복소수 [[선다발|선 다발]]으로 인식한다. (실제로 이것은 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>에 대한 소위 [[보편 가역층|동어반복 다발]]이다. ) 따라서 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>의 점은 ( ''n'' +1)-튜플 <math>[ Z_0 ,\dots, Z_n ]</math>의 동치류로 식별된다.  <math>Z_i</math>들은 점의 [[동차좌표|동차 좌표]]라고 한다.

게다가, 이 몫 사상을 두 단계로 실현할 수 있다: 0이 아닌 복소수 ''<math>z=Re^{i\theta}</math>''를 곱하는 것은 기하학적으로 각도 <math>\theta</math>만큼 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 회전한 후 크기 ''<math>R</math>''만큼 늘리는 구성으로 유일하게 생각할 수 있다. 몫 사상 <math>\mathbb{C}^{n+1}\rightarrow\mathbb{CP}^{n}</math>은 두 부분으로 나뉜다.

: <math>\mathbf{C}^{n+1}\setminus\{0\} \stackrel{(a)}\longrightarrow S^{2n+1} \stackrel{(b)}\longrightarrow \mathbf{CP}^n</math>

여기서 단계 (a)는 [[양수 (수학)|양의 실수]]의 곱셈 군의 원소 <math>R\in \R^{+}</math>에 대해 '''<math>\mathbf Z\sim R \mathbf Z</math>'''에 의한 몫이다.  단계 (b)는 회전 '''<math>\mathbf Z\sim e^{i\theta} \mathbf Z</math>'''에 의한 몫이다.

(a)에서 몫의 결과는 방정식 <math>|\mathbf Z|^2=|Z_0|^2+\dots+|Z_n|^2=1</math>. (b)의 몫은 <math>\mathbb{CP}^{n}=S^{2n+1}/S^1</math>을 실현하다. 여기서 <math>S^{1}</math>은 회전 군을 나타낸다. 이 몫은 유명한 [[호프 올뭉치|호프 올화]] <math>S^{1}\rightarrow S^{2n+1}\rightarrow \mathbb{CP}^{n}</math>에 의해 명시적으로 실현된다. 그 [[대원|올]]들은 <math>S^{2n+1}</math>의 대원들 중에 있다.

=== 계량 몫 ===
[[리만 다양체]](또는 일반적으로 [[거리 공간]])의 몫을 취할 때, 몫 공간이 잘 정의된 [[리만 다양체|계량]]으로 부여되도록 주의를 기울여야 하다. 예를 들어, 군 <math>G</math>''가'' 리만 다양체 <math>(X,g)</math>에 작용하는 경우 [[군의 작용|궤도 공간]] <math>X/G</math>''가'' 유도 계량<math>g</math>을 갖기 위해서는 ''<math>\forall h\in G</math>''과 임의의 [[벡터장]] 쌍 <math>X,Y</math>대해 <math>g(Xh,Yh)=g(X,Y) </math>의 의미에서 궤도를 따라 일정해야 한다.

<math>\mathbb{C}^{n+1}</math>에 대한 표준 [[에르미트 다양체|에르미트 계량]]은 다음과 같이 표준 기저로 제공된다.

: <math>ds^2 = d\mathbf{Z} \otimes d\bar{\mathbf{Z}} = dZ_0 \otimes d\bar{Z}_0 + \cdots + dZ_n \otimes d\bar{Z}_n</math>

그것의 실현은 <math>\mathbb{R}^{2n+2}</math>에 대한 표준 [[유클리드 거리|유클리드 계량]]이다. 이 계량은 <math>\mathbb{C}^{*}</math>의 대각 작용에 대해 변하므로 몫의 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>으로 직접 푸시다운할 수 없다. 그러나 이 계량은 회전 군 <math>S^{1}=\text{U}(1)</math>의 대각 작용에서 불변한다. 따라서 위의 구성에서 (b) 단계는 (a) 단계가 완료되면 가능하다.

'''푸비니–슈투디 계량'''은 몫 <math>\mathbb{CP}^{n}=S^{2n+1}/S^1</math>에서 유도된 계량이다. 여기서 <math>S^{2n+1}</math>는 표준 유클리드 계량을 단위 초구로 ''제한하''여 부여된 소위 "둥근 계량"을 수행한다.

=== 국소적 아핀 좌표에서 ===
동차 좌표 <math>[ Z_0: \dots : Z_n ]</math>를 갖는 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>의 점에 해당한다 다음과 같은 유일한 좌표 <math>(z_1,\dots,z_n)</math>가 있다.

: <math>[Z_0:\dots:Z_n] \sim [1,z_1,\dots,z_n], \,\,Z_0\neq0</math>

특히, <math>Z_0\neq0</math>, <math>z_j=Z_j/Z_0</math>. <math>(z_1,\dots,z_n)</math>은 좌표 조각 <math>U_0=\{Z_0\neq0\}</math>에서 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>에 대한 [[아핀 공간|아핀 좌표계]]를 형성한다. <math>U_i=\{Z_i\neq0\}</math> 대신 ''Z<sub>i</sub>''로 명백한 방식으로 나누면 임의의 좌표 조각 <math>U_i</math>에서 아핀 좌표계를 설정 할 수 있다. ''n'' +1 좌표 조각 <math>U_i</math>는 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>을 덮고 <math>U_i</math>의 아핀 좌표 <math>(z_1,\dots,z_n)</math> 측면에서 계량을 명시적으로 제공할 수 있다<sub>''.''</sub> 좌표 도함수는 틀 <math>\{\partial_1,\ldots,\partial_n\}</math>을 정의한다. 푸비니–슈투디 계량에 에르미트 성분이 있는 점에서 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>의 정칙 접다발

: <math>g_{i\bar{j}} = h(\partial_i,\bar{\partial}_j) = \frac{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)\delta_{i\bar{j}} - \bar{z}_i z_j}{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)^2}.</math>

여기서서 <math>|\mathbf z|^2=|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2</math>. 즉, 이 틀에서 푸비니–슈투디 계량의 [[에르미트 행렬]]은 다음과 같다.

: <math> \bigl[g_{i\bar{j}}\bigr] = \frac{1}{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)^2}
\left[
\begin{array}{cccc}
1+|\mathbf{z}|^2 - |z_1|^2 & -\bar{z}_1 z_2 & \cdots & -\bar{z}_1 z_n \\ 
-\bar{z}_2 z_1 & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_2|^2 & \cdots & -\bar{z}_2 z_n \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
-\bar{z}_n z_1 & -\bar{z}_n z_2 & \cdots & 1 + |\mathbf{z}|^2 - |z_n|^2
\end{array}
\right]
</math>

각 행렬 성분은 유니터리 불변이라는 점에 유의하라. 즉, <math>\mathbf{z} \mapsto e^{i\theta}\mathbf{z}</math>이 행렬을 바꾸지 않는다.

따라서 선 요소는 다음과 같이 주어진다.

: <math>\begin{align}
ds^2 &= g_{i\bar{j}} \, dz^i \, d\bar{z}^j \\[4pt]
&= \frac{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)|d\mathbf{z}|^2 - (\bar{\mathbf{z}}\cdot d\mathbf{z})(\mathbf{z}\cdot d\bar{\mathbf{z}})}{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)^2} \\[4pt]
&= \frac{(1+z_i\bar{z}^i)\,dz_j\,d\bar{z}^j - \bar{z}^j z_i\,dz_j\,d\bar{z}^i}{\left(1+z_i\bar{z}^i\right)^2}.
\end{align}
</math>

이 마지막 식에서 [[아인슈타인 표기법]]이 1에서 <math>n</math>까지 범위의 라틴문자 첨자 ''<math>i,j</math>''를 합산하는 데 사용되었다.

계량은 다음 [[켈러 다양체|켈러 퍼텐셜]]에서 파생될 수 있다.<ref name="eguchi">{{저널 인용|제목=Gravitation, gauge theories and differential geometry|저널=Physics Reports|성=Eguchi|이름=Tohru|성2=Gilkey|이름2=Peter B.|url=https://www.researchgate.net/publication/234195796|연도=1980|권=66|호=6|출판사=Elsevier BV|쪽=213–393|bibcode=1980PhR....66..213E|doi=10.1016/0370-1573(80)90130-1|issn=0370-1573|성3=Hanson|이름3=Andrew J.}}</ref>

: <math>
K = \ln(1 + z_i \bar{z}^i) = \ln(1 + \delta_{i\bar{j}} z^i \bar{z}^j)
</math>

~처럼

: <math>
g_{i\bar{j}}=K_{i\bar{j}}=\frac{\partial^2}{\partial z^i \, \partial\bar{z}^j} K
</math>

=== 동차 좌표 사용 ===
대수 기하학의 사영 다형체를 설명하는 데 일반적으로 사용되는 [[동차좌표|동차 좌표]] 표기법 <math>\mathbf Z=[ Z_0: \dots : Z_n ]</math>에서도 표현이 가능하다. 형식적으로 관련된 표현을 적절하게 해석하면

: <math>\begin{align}
ds^2 &= \frac{|\mathbf{Z}|^2|d\mathbf{Z}|^2 - (\bar{\mathbf{Z}}\cdot d\mathbf{Z})(\mathbf{Z}\cdot d\bar{\mathbf{Z}})}{|\mathbf{Z}|^4}\\
&=\frac{Z_\alpha\bar{Z}^\alpha dZ_\beta d\bar{Z}^\beta - \bar{Z}^\alpha Z_\beta dZ_\alpha d\bar{Z}^\beta}{\left(Z_\alpha\bar{Z}^\alpha\right)^2}\\
&= \frac {2Z_{[\alpha}\,dZ_{\beta]} \bar{Z}^{[\alpha}\,\overline{dZ}^{\beta]}}
{\left( Z_\alpha \bar{Z}^\alpha \right)^2}.
\end{align}</math>

여기서 합 규칙은 0에서 <math>n</math>까지의 그리스 문자 첨자 <math>\alpha,\beta</math>를 합산하는 데 사용되며 마지막 등식에서는 텐서의 skew 부분에 대한 표준 표기법이 사용된다.

: <math>Z_{[\alpha}W_{\beta]} = \frac {1}{2} \left(
Z_{\alpha} W_{\beta} - Z_{\beta} W_{\alpha} \right).</math>

이제 <math>ds^2</math>에 대한 이 표현은 분명히 동어반복 다발 <math>\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\}</math>의 전체 공간에 대한 텐서를 정의한다. <math>\mathbb{CP}^{n}</math>의 팽팽한 다발의 정칙 단면 σ를 따라 당겨서 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>의 텐서로 적절하게 이해해야 한다. 그런 다음 당김 값이 단면 선택과 독립적인지 확인해야 하다. 이것은 직접 계산으로 수행할 수 있다.

이 계량의 [[켈러 다양체|켈러 형식]]은 다음과 같다.

: <math>\omega = \frac{i}{2}\partial\bar{\partial}\log |\mathbf{Z}|^2</math>

여기서 <math>\partial, \bar\partial</math>는 [[복소수 미분 형식|돌보 연산자]]이다. 이것의 당김은 정칙 단면의 선택과 분명히 독립적이다. <math>\log|\mathbf Z|^2</math>는 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>의 [[켈러 다양체|켈러 퍼텐셜]](켈러 스칼라라고도 함)이다.

=== 브라켓 좌표 표기 ===
[[양자역학|양자 역학]]에서 푸비니–슈투디 계량은 부레스 계량이라고도 한다.<ref name="facchi">Paolo Facchi, Ravi Kulkarni, V. I. Man'ko, Giuseppe Marmo, E. C. G. Sudarshan, Franco Ventriglia "[[arxiv:1009.5219|Classical and Quantum Fisher Information in the Geometrical Formulation of Quantum Mechanics]]" (2010), ''Physics Letters'' '''A 374''' pp. 4801. {{Doi|10.1016/j.physleta.2010.10.005}}</ref> 그러나 부레스 계량은 일반적으로 혼합 상태 표기법으로 정의되는 반면 아래 설명은 순수 상태 항으로 작성된다. 계량의 실수 부분은 피셔 정보 계량의 4배이다.<ref name="facchi" />

푸비니–슈투디 계량은 [[양자역학|양자 역학]]에서 일반적으로 사용되는 [[브라-켓 표기법|브라켓 표기법]]을 사용하여 작성할 수 있다. 이 표기법을 위에 주어진 동차 좌표와 명시적으로 동일시하려면,

: <math>\vert \psi \rangle = \sum_{k=0}^n Z_k \vert e_k \rangle = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]</math>

로 두면 된다. 여기서 <math>\{\vert e_k \rangle\}</math>는 [[힐베르트 공간]]에 대한 정규 [[기저 (선형대수학)|직교 기저 벡터]]들의 집합이다. <math>Z_k</math>들은 복소수이고 <math>Z_\alpha = [Z_0:Z_1:\ldots:Z_n]</math>는 [[사영 공간]] <math>\mathbb{C}P^n</math>의 한 점에 대한 [[동차좌표|동차 좌표]] 표준 표기법이다. 그럼 두 점 <math>\vert \psi \rangle = Z_\alpha</math>, <math>\vert \varphi \rangle = W_\alpha</math>을 주면 공간에서 그들 사이의 거리(측지선의 길이)는

: <math>\gamma (\psi, \varphi) = \arccos
\sqrt \frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;
 \langle \varphi \vert \psi \rangle }
{\langle \psi \vert \psi \rangle \;
\langle \varphi \vert \varphi \rangle}
</math>

또는 동등하게 사영 다형체 표기법에서,

: <math>\gamma (\psi, \varphi) =\gamma (Z,W) = 
\arccos \sqrt {\frac {Z_\alpha \bar{W}^\alpha \; W_\beta \bar{Z}^\beta}
{Z_\alpha \bar{Z}^\alpha \; W_\beta \bar{W}^\beta}}.
</math>

여기서, <math>\bar{Z}^\alpha</math>는 <math>Z_\alpha</math>의 [[켤레 복소수]]이다. 분모에 있는 <math>\langle \psi \vert \psi \rangle</math>는 <math>\vert \psi \rangle</math>가 단위 길이로 정규화되지 않았다.(<math>\vert \varphi \rangle</math>도 마찬가지)는 것을 나타낸다. 따라서, 위에서 정규화가 명시적으로 이루어진다. 위에서 주어진 힐베르트 공간에서 거리는 두 벡터 사이의 각도로 다소 자명하게 해석될 수 있다. 따라서 때때로 '''양자 각도'''라고 한다. 각도는 0에서 <math>\pi/2</math> 사이의 실수 값이다.

이 계량의 [[무한소]] 형태는 <math>\varphi = \psi+\delta\psi</math>을, 또는 동등하게, <math>W_\alpha = Z_\alpha + dZ_\alpha</math>를 수행하여 빠르게 얻을 수 있다:

: <math>ds^2 = \frac{\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle}
{\langle \psi \vert \psi \rangle} - 
\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;
\langle \psi \vert \delta \psi \rangle}
{{\langle \psi \vert \psi \rangle}^2}.
</math>

[[양자역학|양자 역학]]의 맥락에서 <math>\mathbb{CP}^{1}</math>은 [[블로흐 구면]]이라고 하다. 푸비니–슈투디 계량은 양자 역학의 기하학에 대한 자연스러운 [[거리 공간|계량]]이다. [[양자 얽힘]] 및 [[기하학적 위상|베리 페이즈]] 효과를 포함한 양자 역학의 특이한 동작의 대부분은 푸비니-슈투디 계량의 특성에 기인할 수 있다.

== ''n'' = 1인 경우 ==
<math>n=1</math>일 때, 입체 사영으로 주어지는 미분 동형 사상 <math>S^2\cong \mathbb{CP}^1</math>이 있다. 이것은 "특별한" 호프 올화 <math>S^1\rightarrow S^3\rightarrow S^2</math>로 이어진다. 푸비니–슈투디 계량이 <math>\mathbb{CP}^{1}</math>의 좌표로 작성될 때 실 접다발에 대한 제한은 <math>S^2</math>의 반지름 1/2(및 [[가우스 곡률]] 4)의 일반 "둥근 계량" 표현을 생성한다.

즉, 만약 <math>z=x+iy</math>가 [[리만 구]] <math>\mathbb{CP}^{1}</math>의 표준 아핀 좌표 차트이고 <math>x=r\cos\theta, y=r\sin \theta</math>가 <math>\mathbb{C}</math>의 극좌표이면

: <math>ds^2= \frac{\operatorname{Re}(dz \otimes d\bar{z})}{\left(1+|\mathbf{z}|^2\right)^2}
= \frac{dx^2+dy^2}{ \left(1+r^2\right)^2 }
= \frac{1}{4}(d\varphi^2 + \sin^2 \varphi\,d\theta^2)
= \frac{1}{4} \, ds^2_{us}
</math>

가 성립한다. 여기서 <math>ds^2_{us}</math>는 단위 구면의 둥근 계량이다. 이때, <math>\varphi,\theta</math>는 입체 사영 <math>r\tan(\varphi/2)=1</math>, <math>\tan(\theta)=y/x</math>에서 오는 <math>S^2</math>에 대한 "수학자의 [[구면좌표계|구면 좌표계]]"이다.

이에 대한 [[켈러 다양체|켈러 형식]]은

: <math>K=\frac{i}{2}\frac{dz\wedge d\bar{z}}{\left(1+z\bar{z}\right)^2}
= \frac{dx\wedge dy}{\left(1+x^2+y^2\right)^2}</math>

이다. 비어바인으로 <math>e^1=dx/(1+r^2)</math>, <math>e^2=dy/(1+r^2)</math>를 선택하면, 켈러 형식은 다음과 같이 단순화된다.

: <math>K=e^1 \wedge e^2</math>

[[호지 쌍대|호지 별 연산자]]를 켈러 형식에 적용하면 다음을 얻는다.

: <math>*K = 1</math>

이는 ''<math>K</math>''가 [[호지 이론|조화형식]]이라는 것을 암시한다.

== ''n'' = 2인 경우 ==
복소 사영 평면 <math>\mathbb{CP}^{2}</math>에 대한 푸비니-슈투디 계량은 [[순간자|중력 순간자]]의 중력 아날로그로 제안되었다.<ref>{{저널 인용|제목=Quantum Gravity and World Topology|저널=Physical Review Letters|성=Eguchi|이름=Tohru|성2=Freund|이름2=Peter G. O.|날짜=1976-11-08|권=37|호=19|출판사=American Physical Society (APS)|쪽=1251–1254|bibcode=1976PhRvL..37.1251E|doi=10.1103/physrevlett.37.1251|issn=0031-9007}}</ref><ref name="eguchi" /> 적절한 4차원 실수 좌표가 설정되면 계량, 접속 형식 및 곡률을 쉽게 계산할 수 있다. 실수 데카르트 좌표를 <math>(x,y,z,t)</math>로 쓴 경우 [[초구|4차원 구]]([[사원수]] 사영 직선)에서 극좌표 제 1형식을 다음과 같이 정의한다.

: <math>\begin{align}
r\,dr &= +x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt \\
r^2\sigma_1 &= -t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt \\
r^2\sigma_2 &= +z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt \\
r^2\sigma_3 &= -y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt
\end{align}</math>

<math>\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3</math>는 리 군 <math>SU(2)=S^3</math>의 표준 왼쪽 불변 제 1형식 좌표계이다. 즉, <math>i,j,k=1,2,3</math>의 순환에 대해 <math>d\sigma_i=2\sigma_j\wedge\sigma_k</math>이 성립한다.

해당 국소적 아핀 좌표는 다음과 같다. <math>z_1=x+iy</math>, <math>z_2=z+it</math>. 그러면,

: <math>\begin{align}
z_1\bar{z}_1+z_2\bar{z}_2 &= r^2 = x^2+y^2+z^2+t^2 \\
dz_1\,d\bar{z}_1 + dz_2\,d\bar{z}_2 &= dr^2 + r^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2) \\
\left(\bar{z}_1\,dz_1 + \bar{z}_2\,dz_2 \right)^2 &= r^2 \left(dr^2 + r^2 \sigma_3^2 \right)
\end{align}</math>

일반적인 약자로 <math>dr^2=dr\otimes dr</math>, <math>\sigma_k^2=\sigma_k\otimes\sigma_k</math>.

이전에 주어진 표현식으로 시작하는 선 요소는 다음과 같이 지정된다.

: <math>\begin{align}
ds^2 &= \frac{dz_j\,d\bar{z}^j}{1+z_i\bar{z}^i}
   - \frac{\bar{z}^j z_i\,dz_j\,d\bar{z}^i}{(1+z_i\bar{z}^i)^2} \\[5pt]
&= \frac{dr^2+r^2 (\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2)}{1+r^2}
 - \frac{r^2 \left(dr^2 + r^2 \sigma_3^2 \right)}{\left(1+r^2\right)^2} \\[4pt]
&= \frac{dr^2+r^2\sigma_3^2}{\left(1+r^2\right)^2} + \frac{r^2\left(\sigma_1^2+\sigma_2^2\right)}{1+r^2}
\end{align}</math>

비어바인들은 마지막 표현에서 즉시 읽을 수 있다.

: <math>\begin{align}
e^0 = \frac{dr}{1+r^2} & & &
e^3 = \frac{r\sigma_3}{1+r^2} \\[5pt]
e^1 = \frac{r\sigma_1}{\sqrt{1+r^2}} & & &
e^2 = \frac{r\sigma_2}{\sqrt{1+r^2}}
\end{align}</math>

즉, 비어바인 좌표계에서 로마자 첨자를 사용하면 계량 텐서는 유클리드이다.

: <math>ds^2=\delta_{ab} e^a\otimes e^b = 
e^0 \otimes e^0 + e^1 \otimes e^1 + e^2 \otimes e^2 + e^3 \otimes e^3.</math>

비어바인이 주어지면 [[스핀 접속]]을 계산할 수 있다. 레비치비타 스핀 접속은 [[비틀림 텐서|비틀림]]이 없고 공변적으로 상수인 유일한 접속이다. 즉, 비틀림 없는 조건

: <math>de^a + \omega^a_{\;\;b} \wedge e^b = 0</math>

을 만족하는 제 1형식 <math>\omega^a_{\;\;b}</math>이다. 그리고 공변적으로 일정하며, 이는 스핀 접속의 경우 비어바인 첨자에서 비대칭임을 의미한다.

: <math>\omega_{ab} = -\omega_{ba}</math>

위의 내용은 쉽게 해결된다:

: <math>\begin{align}
\omega^0_{\;\;1} &= - \omega^2_{\;\;3} = -\frac{e^1}{r} \\
\omega^0_{\;\;2} &= - \omega^3_{\;\;1} = -\frac{e^2}{r} \\
\omega^0_{\;\;3} &= \frac{r^2-1}{r} e^3 \quad\quad
\omega^1_{\;\;2} = \frac{1+2r^2}{r} e^3 \\
\end{align}</math>

[[리만 곡률 텐서|곡률 제 2형식]]은

: <math>R^a_{\;\,b} = d\omega^a_{\;\,b} + \omega^a_{\;c} \wedge \omega^c_{\;\,b}</math>

과 같이 정의되고 상수이다.

: <math>\begin{align}
R_{01} &= -R_{23} = e^0\wedge e^1 - e^2\wedge e^3 \\
R_{02} &= -R_{31} = e^0\wedge e^2 - e^3\wedge e^1 \\
R_{03} &= 4 e^0\wedge e^3 + 2 e^1\wedge e^2 \\
R_{12} &= 2 e^0\wedge e^3 + 4 e^1\wedge e^2
\end{align}</math>

비어바인 첨자의 [[리치 곡률 텐서|리치 텐서]]는 다음과 같이 주어진다.

: <math>\operatorname{Ric}^a_{\;\;c}=R^a_{\;\,bcd} \delta^{bd}</math>

여기서 곡률 2형은 4개 성분 텐서로 확장되었다.

: <math>R^a_{\;\,b} = \frac{1}{2}R^a_{\;\,bcd}e^c\wedge e^d</math>

결과적으로 [[리치 곡률 텐서|리치 텐서]]는 상수이다.

: <math>\operatorname{Ric}_{ab}=6\delta_{ab}</math>

따라서 [[아인슈타인 방정식]]

: <math>\operatorname{Ric}_{ab} - \frac{1}{2}\delta_{ab}R + \Lambda\delta_{ab} = 0</math>

은 [[우주상수]] <math>\Lambda=6</math>로 풀 수 있다.

일반적으로 푸비니–슈투디 계량에 대한 [[바일 곡률 텐서|바일 텐서]]는 다음과 같이 제공된다.

: <math>W_{abcd}=R_{abcd} - 2\left(\delta_{ac}\delta_{bd} - \delta_{ad}\delta_{bc}\right)</math>

<math>n=2</math>일 때, 제 2형식

: <math>W_{ab}=\frac{1}{2}W_{abcd} e^c \wedge e^d</math>

들은 자기 쌍대적이다:

: <math>\begin{align}
W_{01} &= W_{23} = -e^0\wedge e^1 - e^2\wedge e^3 \\
W_{02} &= W_{31} = -e^0\wedge e^2 - e^3\wedge e^1 \\
W_{03} &= W_{12} = 2 e^0\wedge e^3 + 2 e^1\wedge e^2
\end{align}</math>

== 곡률 성질들 ==
<math>n=1</math>인 특별한 경우에, 푸비니–슈투디 계량은 2차원 구의 둥근 계량(주어진 반지름 ''R''이 단면 곡률<math>1/R^2</math>을 가짐)과의 동등성에 따라 일정한 단면 곡률 4를 가진다. 그러나 ''n'' > 1인 경우 푸비니–슈투디 계량은 일정한 곡률을 갖지 않는다. 그 단면 곡률은 대신 방정식<ref>Sakai, T. ''Riemannian Geometry'', Translations of Mathematical Monographs No. 149 (1995), American Mathematics Society.</ref>에 의해 제공된다.

: <math>K(\sigma) = 1 + 3\langle JX,Y \rangle^2</math>

여기서 <math>\{X,Y\} \in T_p \mathbb{CP}^n</math>는 2차원 평면 <math>\sigma:T\mathbb{CP}^{n} \rightarrow
 T\mathbb{CP}^{n}</math>의 직교 정규 기저이고, <math>J</math>는 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>의 복소 구조이고, <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>는 푸비니–슈투디 계량이다.

이 공식의 결과는 단면 곡률이 모든 2차원 평면 <math>\sigma</math>에 대해 <math>1 \leq K(\sigma) \leq 4</math>을 충족한다는 것이다.  최대 단면 곡률(4)은 ''J'' (σ) ⊂ σ인 [[정칙 함수|정칙]] 2차원 평면에서 달성되는 반면 최소 단면 곡률(1)은 ''J'' (σ)가 σ에 직교하는 2차원 평면에서 달성된다. 이러한 이유로 푸비니–슈투디 계량은 종종 4와 같은 "일정한 ''정칙'' 단면 곡률"을 갖는다고 한다.

이것은 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>을 (엄격하지 않은) 쿼터 핀치 다양체로 만듭니다. 어떤 유명한 정리는 엄격하게 1/4 핀치로 [[단일 연결 공간|단일 연결]] ''n'' -다양체가 구에 대해 동형이어야 함을 보여준다.

푸비니–슈투디 계량은 자신의 [[리치 곡률 텐서|리치 텐서]]에 비례한다는 점에서 [[아인슈타인 다양체|아인슈타인 계량]]이기도 하다. 모든 ''i'', ''j'' 에 대해

: <math>\operatorname{Ric}_{ij} = \Lambda g_{ij}</math>

인 상수 <math>\Lambda</math>가 존재한다. 이것은 무엇보다도 푸비니–슈투디 계량이 리치 흐름 에서 스칼라 곱를 제외하고 바뀌지 않은 상태로 유지됨을 의미한다. 이 사실은 또한 진공 [[아인슈타인 방정식|아인슈타인 장 방정식]]에 대한 자명하지 않은 해의 역할을 하기 때문에 [[일반 상대성이론|일반 상대성 이론]]에 <math>\mathbb{CP}^{n}</math>을 필수 불가결하게 만든다.

<math>\mathbb{CP}^{n}</math>에 대한 [[우주상수|우주 상수]] <math>\Lambda</math>의 경우 공간의 차원으로 표시된다.

: <math>\operatorname{Ric}_{ij} = 2(n+1) g_{ij}.</math>

== 곱 계량 ==
푸비니–슈투디 계량에는 분리 가능성에 대한 일반적인 개념이 적용된다. 보다 정확하게는 계량은 사영 공간의 자연적 곱인 [[세그레 매장]]에서 분리할 수 있다. 만약 <math>\vert\psi\rangle</math>가 분리 가능한 상태이어서 <math>\vert\psi\rangle=\vert\psi_A\rangle\otimes\vert\psi_B\rangle</math>과 같이 쓸 수 있다면, 계량은 부분 공간에 대한 계량의 합이다.

: <math>ds^2 = {ds_A}^2+{ds_B}^2</math>

여기서 <math>{ds_A}^2</math>와 <math>{ds_B}^2</math>는 부분 공간 ''A''와 ''B''의 계량이다.

== 접속 및 곡률 ==
계량이 켈러 퍼텐셜에서 유도될 수 있다는 사실은 [[크리스토펠 기호]]와 곡률 텐서가 많은 대칭성을 포함하고 특히 간단한 형식으로 제공될 수 있음을 의미하다.<ref>Andrew J. Hanson, Ji-PingSha, "[ftp://ftp.cs.indiana.edu/pub/hanson/forSha/AK3/old/K3-pix.pdf Visualizing the K3 Surface]{{깨진 링크|url=ftp://ftp.cs.indiana.edu/pub/hanson/forSha/AK3/old/K3-pix.pdf }}" (2006)</ref> 국소적 아핀 좌표에서 크리스토펠 기호는 다음과 같다.

: <math>
\Gamma^i_{\;jk}=g^{i\bar{m}}\frac{\partial g_{k\bar{m}}}{\partial z^j}
\qquad
\Gamma^\bar{i}_{\;\bar{j}\bar{k}}=g^{\bar{i}m}\frac{\partial g_{\bar{k}m}}{\partial \bar{z}^\bar{j}}
</math>

리만 텐서는 특히 간단하다.

: <math>
R_{i\bar{j}k\bar{l}}=g^{i\bar{m}}\frac{\partial \Gamma^\bar{m}_{\;\;\bar{j}\bar{l}}}{\partial z^k}
</math>

[[리치 곡률 텐서|리치 텐서]]는

: <math>
R_{\bar{i}j}= R^{\bar{k}}_{\; \bar{i}\bar{k} j} = 
- \frac{\partial \Gamma^\bar{k}_{\;\bar{i}\bar{k}}}{\partial z^j}
\qquad
R_{i\bar{j}}= R^k_{\; ik \bar{j}} = - \frac{\partial \Gamma^k_{\;ik}}{\partial \bar{z}^\bar{j}}
</math>

== 역사 ==
1904년에 [[귀도 푸비니]]가,<ref>{{저널 인용|jfm=35.0142.02
|제목={{lang|it|Sulle metriche definite da una forma Hermitiana. Nota}}
|저널={{lang|it|Atti dell'Istitituto Veneto di Scienze}}
|권=63|쪽=501–513|날짜=1904
|이름=Guido|성=Fubini|저자링크=귀도 푸비니|언어=it
}}</ref> 1905년에 크리스티안 후고 에두아르트 슈투디({{llang|de|Christian Hugo Eduard Study}})가<ref>{{저널 인용|
|jfm=36.0614.02
|제목={{lang|de|Kürzeste Wege im komplexen Gebiet}}
|저널={{lang|de|Mathematische Annalen}}
|권=60|호=3|날짜=1905-09
|이름=Eduard|성=Study|doi=10.1007/BF01457616|언어=de
}}</ref> 독자적으로 발견하였다.

== 같이 보기 ==
* [[칼루차–클레인 이론]]
== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:사영기하학]]
[[분류:복소다양체]]
[[분류:다양체 상의 구조]]
[[분류:양자역학]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]