푸르만 원 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Fuhrmann_circle.svg|섬네일|푸르만 원]]
[[기하학]]에서, '''푸르만 원'''({{llang|en|Fuhrmann circle}})은 [[삼각형]]의 [[수심 (기하학)|수심]]과 [[나겔 점]]을 잇는 선분을 [[지름]]으로 하는 [[원 (기하학)|원]]이다.

== 정의 ==
[[삼각형]] <math>ABC</math>의 [[외접원]]의 호 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 중점을 각각 <math>F_A'</math>, <math>F_B'</math>, <math>F_C'</math>라고 하자. 직선 <math>BC</math>에 대한 <math>F_A'</math>의 [[반사 (기하학)|반사]]상을 <math>F_A</math>, 직선 <math>CA</math>에 대한 <math>F_B'</math>의 반사상을 <math>F_B</math>, 직선 <math>AB</math>에 대한 <math>F_C'</math>의 반사상을 <math>F_C</math>라고 하자. 그렇다면 삼각형 <math>F_AF_BF_C</math>를 원래 삼각형 <math>ABC</math>의 '''푸르만 삼각형'''({{llang|en|Fuhrmann triangle}})이라고 한다. 푸르만 삼각형의 외접원을 '''푸르만 원'''이라고 한다.

== 성질 ==
푸르만 원은 [[수심 (기하학)|수심]]과 [[나겔 점]]을 잇는 선분을 지름으로 한다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|50, §6}} 특히, 푸르만 원의 중심은 수심과 나겔 점을 잇는 선분의 중점이다.
{{증명}}
삼각형 <math>ABC</math>의 수심을 <math>H</math>, 나겔 점을 <math>X_8</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>F_AF_A'</math>은 선분 <math>BC</math>의 수직 이등분선이므로, 선분 <math>BC</math>의 중점 <math>M_A</math>와 외심 <math>O</math>를 지난다. 특히 <math>O</math>에 대한 <math>F_A'</math>의 반사상을 <math>F_A''</math>이라고 할 경우 선분 <math>F_A'F_A''</math>은 외접원의 지름이다. <math>AH</math>와 <math>F_A''F_A</math>는 모두 <math>BC</math>의 수선이므로 평행한다. 또한
:<math>\begin{align}AH
&=2OM_A\\
&=2OF_A'-2M_AF_A'\\
&=F_A''F_A'-F_AF_A'\\
&=F_A''F_A
\end{align}</math>
이므로 선분 <math>HF_A</math>는 선분 <math>AF_A''</math>의 [[평행 이동]]상이며, 특히 이 두 선분의 직선은 평행한다.

삼각형 <math>ABC</math>의 [[반중점 삼각형]] <math>A'B'C'</math>의 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>에 대한 꼭짓점을 <math>A'</math>, <math>B'</math>, <math>C'</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>X_8</math>은 삼각형 <math>A'B'C'</math>의 [[내심]]이며, 특히 <math>A'X_8</math>은 삼각형 <math>A'B'C'</math>의 내각 이등분선이다. <math>AF_A'</math> 역시 삼각형 <math>ABC</math>의 내각 이등분선이므로, <math>A'X_8</math>과 <math>AF_A'</math>은 평행한다. <math>M_A</math>는 선분 <math>AA'</math>과 <math>F_AF_A'</math>의 공통 중점이므로, 선분 <math>AF_A'</math>과 <math>A'F_A</math>는 서로 <math>M_A</math>에 대한 [[반사 (기하학)|반사]]상이며, 특히 이 두 선분의 직선은 평행한다. 따라서, <math>A'</math>, <math>X_8</math>, <math>F_A</math>는 [[공선점]]이며, <math>X_8F_A</math>와 <math>AF_A'</math>은 평행한다.

선분 <math>F_A'F_A''</math>은 삼각형 <math>ABC</math>의 외접원의 지름이므로, <math>AF_A'</math>과 <math>AF_A''</math>은 서로 수직이다. 따라서 <math>X_8F_A</math>와 <math>HF_A</math> 역시 서로 수직이며, <math>F_A</math>는 선분 <math>HX_8</math>를 지름으로 하는 원 위의 점이다.
{{증명 끝}}

삼각형 <math>ABC</math>의 세 변의 길이를 <math>a=BC</math>, <math>b=AC</math>, <math>c=AB</math>라고 하고, 외접원의 반지름을 <math>R</math>라고 하자. 그렇다면 푸르만 원의 반지름은
:<math>R\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3-(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2)+3abc}{abc}}</math>
이다.<ref name="Douillet">{{웹 인용
|url=http://www.douillet.info/~douillet/triangle/Glossary.pdf
|형식=PDF
|성=Douillet
|이름=Pierre L.
|제목=Translation of the Kimberling's Glossary into Barycentrics
|언어=en
|확인날짜=2020-05-31
}}</ref>{{rp|148, §11.17}}

삼각형 <math>ABC</math>의 [[내접원]]의 반지름을 <math>r</math>라고 하고, 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>에서 대변에 내린 수선과 푸르만 원 사이의 수심이 아닌 교점을 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>라고 하자. 그렇다면
:<math>AP=BQ=CR=2r</math>
이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|52, §6}}

삼각형 <math>ABC</math>의 세 변의 길이를 <math>a=BC</math>, <math>b=AC</math>, <math>c=AB</math>라고 하고, [[외심]]을 <math>O</math>, [[내심]]을 <math>I</math>라고 하자. 그렇다면 푸르만 삼각형의 세 변의 길이는
:<math>F_BF_C=\sqrt{\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{bc}}OI=\sqrt{\frac{a(a^3+b^3+c^3-(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2)+3abc)}{(a-b+c)(a+b-c)}}</math>
:<math>F_AF_C=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a-b+c)}{ac}}OI=\sqrt{\frac{b(a^3+b^3+c^3-(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2)+3abc)}{(b+c-a)(a+b-c)}}</math>
:<math>F_AF_B=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{ab}}OI=\sqrt{\frac{c(a^3+b^3+c^3-(a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2)+3abc)}{(b+c-a)(a-b+c)}}</math>
이다.<ref name="Douillet" />{{rp|255, §19.15}}

삼각형 <math>ABC</math>의 내심을 <math>I</math>, 외심을 <math>O</math>, [[수심 (기하학)|수심]]을 <math>H</math>, [[나겔 점]]을 <math>X_8</math>, 푸르만 원의 중심을 <math>X_{355}</math>라고 하자. 그렇다면 사각형 <math>OIX_{355}X_8</math>과 사각형 <math>OIHX_{355}</math>는 모두 [[평행 사변형]]이며, 그 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]은 각각 [[슈피커 중심]] 및 [[구점원]]의 중심이다.<ref name="Douillet" />{{rp|255, §19.15}} 특히, 슈피커 중심은 외심과 푸르만원의 중심을 잇는 선분의 중점이며, 구점원의 중심은 내심과 푸르만 원의 중심을 잇는 선분의 중점이다.

삼각형 <math>ABC</math>의 외접원과 내접원의 반지름을 <math>R</math>와 <math>r</math>라고 하자. 그렇다면 내심 <math>I</math>와 푸르만 원의 중심 <math>X_{355}</math> 사이의 거리는 다음과 같다.<ref name="Douillet" />{{rp|255, §19.15}}
:<math>IX_{355}=2NI=R-2r</math>
여기서 <math>N</math>은 구점원의 중심이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=FuhrmannCircle|title=Fuhrmann circle}}
* {{매스월드|id=FuhrmannTriangle|title=Fuhrmann triangle}}
* {{매스월드|id=FuhrmannCenter|title=Fuhrmann center}}

[[분류:삼각 기하학]]