표현환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 군론]]에서 '''표현환'''(表現環, {{llang|en|representation ring}})은 어떤 [[리 군]]의 유한 차원 [[군의 표현|표현]]들로 생성되는 [[그로텐디크 환]]이다.<ref name="Segal">{{저널 인용|이름=Graeme|성=Segal | 저자링크=그레임 시걸  | url= http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__113_0 | 제목=The representation ring of a compact Lie group | 저널=Publications mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques | 권=34 | 쪽=113–128 | mr = 248277 | zbl = 0209.06203 | 언어=en}}</ref>

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]] <math>G</math> (특히, 모든 [[유한군]]은 [[이산 공간]]으로서 콤팩트 [[리 군]]을 이룬다)
* <math>\mathbb K \in \{\mathbb R,\mathbb C\}</math> ([[실수체]] 또는 [[복소수체]])
그렇다면, <math>G</math>의 [[매끄러운 함수|매끄러운]] 유한 차원 [[군의 표현|표현]]
:<math>G \to \operatorname{GL}(V;\mathbb K)</math>
들의 동치류들의 집합을 생각하자. (이는 항상 [[가산 집합]]이다.) 이는 텐서곱과 [[직합]]을 통하여 [[반환 (수학)|가환 반환]]을 이룬다. 그 덧셈 항등원은 (유일한) 0차원 표현이며, 그 곱셈 항등원은 [[상수 함수]]인 자명한 1차원 표현
:<math>G \to \operatorname{GL}(1;\mathbb K)</math>
:<math>g \mapsto 1</math>IHÉS
이다.

따라서, 이 반환의 [[그로텐디크 환]]
:<math>\operatorname R(G;\mathbb K)</math>
을 취할 수 있다. 이를 <math>G</math>의 <math>\mathbb K</math>계수 '''표현환'''이라고 한다. <math>\mathbb K = \mathbb R</math>일 때 이 [[가환환]]을 <math>\operatorname{RO}(G)</math>라고 하며, <math>\mathbb K = \mathbb C</math>일 때 이 [[가환환]]을 <math>\operatorname{RU}(G)</math>라고 한다.

=== 사원수의 경우 ===
위와 마찬가지로, <math>\mathbb K = \mathbb H</math>([[사원수]]의 [[나눗셈환]])인 경우를 생각할 수 있다. 이 경우, 표현의 [[직합]]은 잘 정의되지만, [[사원수]]의 비가환성으로 인하여, 표현의 텐서곱을 일반적으로 취할 수 없다. 따라서 이 경우 얻어지는 [[아벨 군]] <math>\operatorname{RSp}(G) = \operatorname R(G;\mathbb H)</math>은 일반적으로 [[가환환]]의 구조를 갖지 못한다. 그러나 실수 표현과 사원수 표현의 텐서곱은 잘 정의되므로, <math>\operatorname{RSp}(G)</math>는 [[가환환]] <math>\operatorname{RO}(G)</math> 위의 [[가군]]을 이룬다.

== 성질 ==
표현환에는 항상 표현의 차원을 나타내는 [[환 준동형]]
:<math>\dim_{\mathbb C} \colon \operatorname{RU}(G) \to \mathbb Z</math>
:<math>\dim_{\mathbb R} \colon \operatorname{RO}(G) \to \mathbb Z</math>
이 존재한다.

<math>\operatorname{RU}(G)</math> 위에는 복소수 켤레 사상에 따라서 [[자기 동형]]
:<math>(-)^* \colon \operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RU}(G)</math>
이 존재한다. 이는 등급을 보존하는 [[전단사 함수|전단사]] [[환 준동형]]이다. 마찬가지로, <math>\operatorname{RSp}(G)</math> 위에는
:<math>(-)^* \colon \operatorname{RSp}(G) \to \operatorname{RSp}(G)</math>
가 존재하며, 이는 등급을 보존하는 덧셈군의 [[군 준동형]]이다.

또한, 복소화에 따라 [[환 준동형]]
:<math> (-)^{\mathbb C}\colon \operatorname{RO}(G) \to \operatorname{RU}(G)</math>
:<math> (-)^{\mathbb H}\colon \operatorname{RO}(G) \to \operatorname{RSp}(G)</math>
이 존재한다. 반대로, 복소수 또는 사원수 구조의 망각에 따라서 덧셈군의 [[군 준동형]]
:<math> \operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RO}(G)</math>
:<math> \operatorname{RSp}(G) \to \operatorname{RO}(G)</math>
이 존재한다. <math>\operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RO}(G)</math>는 [[유사환]]의 준동형이지만, 복소수 1차원 표현을 실수 2차원 표현에 대응시키므로, [[환 준동형]]을 이루지 못한다. 또한, 포함 관계  <math>\mathbb C\hookrightarrow \mathbb H</math>의 모듈러스 공간은 <math>\mathbb S^2 = \{x \in \mathbb H\colon \bar x = -x,\; \|x\|=1\}</math>이므로, 이에 따라 망각 사상
:<math>\operatorname{RSp}(G) \times\mathbb S^2 \to \operatorname{RU}(G)</math>
이 존재한다.

[[외부 자기 동형군]] <math>\operatorname{Out}(G)</math>은 <math>\operatorname{RU}(G)</math> 및 <math>\operatorname{RO}(G)</math> 위에 환의 [[자기 동형]]으로 작용한다.

=== 함자성 ===
<math>H</math>가 콤팩트 [[리 군]] <math>G</math>의 [[닫힌집합]] [[부분군]]일 때, 그 표현환 사이에 다음과 같은 [[환 준동형]]이 유도된다.
:<math>\operatorname{res}^G_H \colon \operatorname{RU}(G) \to \operatorname{RU}(H)</math>
:<math>\operatorname{res}^G_H \colon \operatorname{RO}(G) \to \operatorname{RO}(H)</math>
이에 따라, <math>\operatorname{RU}(H)</math>는 <math>\operatorname{RU}(G)</math> 위의 [[유한 생성 가군]]을 이루며,<ref name="Segal"/>{{rp|Proposition 3.2}} 마찬가지로 <math>\operatorname{RO}(G)</math>도 <math>\operatorname{RO}(H)</math> 위의 [[유한 생성 가군]]을 이룬다.

=== 연결 콤팩트 리 군의 경우 ===
<math>G</math>가 [[연결 공간|연결]] [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]이라고 하고, 그 [[극대 원환면]]
:<math>T \le G</math>
및 이에 대한 [[바일 군]]
:<math>\operatorname{Weyl}(G,T) \le \operatorname{Out}(T)</math>
을 정의하자. 그렇다면, 표준적으로
:<math>\operatorname{RU}(G) \cong \operatorname{RU}(T)^{\operatorname{Weyl}(G,T)}</math>
이다. 여기서 우변은 <math>\operatorname{RU}(T) \cong \mathbb Z[x_1,x_1^{-1},\dotsc,x_{\dim T},x_{\dim T}^{-1}]</math>의 원소 가운데, [[바일 군]]의 [[군의 작용|작용]]에 대하여 불변인 것들로 구성된 [[부분환]]이다.

=== 유한 아벨 군의 경우 ===
임의의 [[유한군|유한]] [[아벨 군]] <math>G</math>에 대하여, 그 [[지표군]]
:<math>\hat G = \{\phi\in\hom_{\operatorname{Grp}}(G,\mathbb C^\times \}</math>
을 생각하자. 그렇다면, 복소수 표현환은 항상 지표군의 정수 계수 [[군환]]이다.
:<math>\operatorname{RU}(G) = \mathbb Z[\hat G]</math>

== 예 ==
=== 자명군 ===
[[자명군]]의 표현환은 [[정수환]]이다.
:<math>\operatorname{RO}(1) = \operatorname{RU}(1) \cong \mathbb Z</math>
즉, 그 표현들은 모두 자명한 표현이다.

=== 순환군 ===
<math>n</math>차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(n)</math>의 경우,
:<math>\operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n)) \cong \mathbb Z[x]/(x^n-1)</math>
이며, 그 차원은
:<math>\dim \colon \operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n))  \to \mathbb Z</math>
:<math> x \mapsto 1</math>
이다.
 
이 동형 아래, <math>x</math>는 다음과 같은, [[1의 거듭제곱근]]을 통한 1차원 표현에 대응한다.
:<math>\operatorname{Cyc}(n) = \langle a|a^n=1\rangle \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C)</math>
:<math>a \mapsto \exp(2\pi\mathrm i/n)</math>

=== 3차 대칭군 ===
3차 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(3)</math>의 경우,
:<math>\operatorname{RU}(\operatorname{Sym}(3)) \cong \mathbb Z[x,y]/(xy-y,x^2-1,y^2-x-y-1)</math>
:<math>\dim x = 1</math>
:<math>\dim y = 2</math>
이다. 여기서 <math>x</math>에 대응하는 1차원 표현은
:<math>\operatorname{Sym}(3) \mapsto \mathbb C^\times</math>
:<math>\sigma \mapsto (-)^\sigma</math>
이며, <math>y</math>에 대응하는 2차원 표현은 <math>\{(x,y,z)\in\mathbb C^3 \colon x+y+z=0\}</math> 위에 벡터 성분의 순열로 작용한다.

=== 원군 ===
[[원군]] <math>\operatorname U(1)</math>의 복소수 계수 표현환은 [[로랑 다항식]]의 환
:<math>\operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n)) \cong \mathbb Z[x,x^{-1}]</math>
이며, 그 차원은
:<math>\dim \colon \operatorname{RU}(\operatorname{Cyc}(n))  \to \mathbb Z</math>
:<math> x \mapsto 1</math>
이다. 이 동형 아래, <math>x^k</math> (<math>k\in\mathbb Z</math>)는 다음과 같은 1차원 표현에 대응한다.
:<math>\operatorname U(1) = \{z\in\mathbb C\colon |z|=1\} \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \{z\in\mathbb C\colon z \ne 0\}</math>
:<math> z \mapsto z^k</math>

[[원군]]의 실수 계수 다항식은 다음과 같은 부분환이다.
:<math>\operatorname{RO}(\operatorname U(1)) = \{\rho \in \operatorname{RU}(\operatorname U(1)) \colon \rho(x) = \rho(x^{-1}) \} \le \operatorname{RU}(\operatorname U(1)) </math>

=== 원환면군 ===
[[원환면]]군
:<math>\operatorname U(1)^n</math>
의 복소수 계수 표현환은 다음과 같은 [[가환환]]이다.
:<math>\operatorname{RU}(\operatorname U(1)^n) = 
\mathbb Z[x_1,x_1^{-1},x_2,x_2^{-1},\dotsc,x_n,x_n^{-1}] \cong \mathbb Z[y,x_1,\dotsc,x_n] / (yx_1\dotsm x_n - 1)</math>
:<math>\dim \colon x_0, x_1,\dotsc,x_n \to 1 </math>
이 동형 아래,
:<math>\operatorname U(1)^n = \{(z_1,z_2,\dotsc,z_n)\colon |z_1|=\dotsb = |z_n|= 1\} \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C) = \{z\in\mathbb C\colon z\ne 0\}</math>
:<math>x_i \colon (z_1,\dotsc,z_n) \mapsto z_i \qquad( i \in \{1,2,\dotsc,n\})</math>
이다.

=== 유니터리 군 ===
[[유니터리 군]] <math>\operatorname U(n)</math>의 경우, [[극대 원환면]]은 [[대각 행렬]]
:<math>\operatorname{diag}\colon\operatorname U(1)^n \hookrightarrow \operatorname U(n)</math>
:<math>\operatorname{diag} \colon (z_1,\dotsc,z_n) \mapsto \operatorname{diag}(z_1,\dotsc,z_n)</math>
로 구성되며, 이에 따른 [[바일 군]]은 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n)</math>이다. 즉, 그 표현환은
:<math>\operatorname{RU}(\operatorname U(n)) = \operatorname{RU}(\operatorname U(1)^n)^{\operatorname{Sym}(n)} \cong \mathbb Z[s_1,s_2,\dotsc,s_{n-1},s_n,s_n^{-1}]</math>
이다.<ref name="Segal"/>{{rp|120, Proposition 3.1}} 여기서 <math>s_a</math>는 <math>a</math>번째 [[기초 대칭 다항식]]에 대응된다.
:<math>s_a = \prod_{1\le i_1 < i_2 < \dotsb < i_a \le n} x_{i_1}x_{i_2}\dotsb x_{i_a}</math>
특히, <math>s_1</math>은 [[유니터리 군]]의 <math>n</math>차원 정의 표현이며, 또한 <math>s_n</math>은 [[행렬식]] 표현에 해당한다.
:<math>s_n = \det \colon \operatorname U(1) \to \operatorname{GL}(1;\mathbb C)</math>
:<math>\det \colon M \mapsto \det M</math>
이는 1차원 표현이므로 역원 <math>M \mapsto (\det M)^{-1}</math>을 갖는다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Ring of representations}}
* {{매스월드|id=RepresentationRing|title=Representation ring}}
* {{nlab|id=representation ring|title=Representation ring}}`

{{전거 통제}}

[[분류:표현론]]
[[분류:리 군]]