표준환 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''표준환'''(標準環, {{llang|en|canonical ring}})은 주어진 [[대수다양체]]의 [[표준 선다발]]의 텐서 거듭제곱들의 단면들로 구성된 [[등급환]]이다.

== 정의 ==
<math>X</math>가 [[대수다양체]]라고 하고, 그 [[표준 선다발]]을 <math>\omega_X</math>라고 하자. 그렇다면 '''표준환''' <math>R(X)</math>는 다음과 같은 [[등급환]]이다.
:<math>R(X)=\bigoplus_{n=0}^\infty R_n(X)</math>
:<math>R_n(X)=H^0(X,\omega_X^n)</math>
여기서 <math>H^0</math>은 0차 [[층 코호몰로지]], 즉 단면들의 [[아벨 군]]이다. <math>\omega_X^n</math>은 표준 선다발의 <math>n</math>승 텐서곱이다.

=== 다중 종수 ===
대수다양체 <math>X</math>의 '''다중 종수'''(多重種數, {{llang|en|plurigenus}}, 복수 {{llang|en|plurigenera}})는 표준환의 각 등급 <math>R_n</math>의 차원들이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|190, Exercise II.8.8}}
:<math>P_n=\dim R_n(X)=h^0(X,\omega_X^n)</math>
<math>P_0</math>은 항상 1이다. <math>P_n</math>은 모두 음이 아닌 정수들이다.

=== 표준 모형 ===
대수다양체 <math>X</math>의 표준환 <math>R</math>에 대한 [[사영 공간]] <math>\operatorname{Proj}(R)</math>을 '''표준 모형'''({{llang|en|standard model}})이라고 한다. 이는 [[모리 시게후미]]의 [[최소 모형 프로그램]](minimal model program)의 중요한 요소다.

=== 고다이라 차원 ===
표준 모형의 차원을 '''고다이라 차원'''([小平]次元, {{llang|en|Kodaira dimension}}) <math>\kappa</math>라고 하며,<ref name="Hartshorne"/>{{rp|421}} 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.
* <math>P_n\in O(d^\kappa)</math>인 최소의 <math>\kappa</math>. 여기서 <math>O</math>는 [[점근 표기법]]이다.
만약 모든 양의 정수 <math>n</math>에 대하여  <math>P_n=0</math>이라면, 고다이라 차원을 <math>\kappa=-\infty</math>로 정의한다. 고다이라 차원은 [[고다이라 구니히코]]의 이름을 땄다.

고다이라 차원은 다음을 만족시킨다.
:<math>\kappa(X\times Y)=\kappa(X)+\kappa(Y)</math>
즉, 차원의 일종으로 생각할 수 있다.

== 성질 ==
표준환은 [[쌍유리 동치]]에 대하여 불변이다. 이에 따라, 모든 다중 종수 및 고다이라 차원 역시 [[쌍유리 동치]] 불변량이다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|저널=Current Developments in Mathematics|권=2007|날짜=2009|쪽= 43-76|제목=Finite generation of a canonical ring|이름=Yujiro|성=Kawamata|zbl=05578294|mr=2532995|url=http://projecteuclid.org/euclid.cdm/1254748603|arxiv=0804.3151|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[엔리퀘스-고다이라 분류]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Kodaira dimension}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]