폰 노이만 대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''폰 노이만 대수'''(von Neumann代數, {{llang|en|von Neumann algebra}})는 어떤 [[복소수 바나흐 공간]]의 [[연속 쌍대 공간]]으로 나타낼 수 있는 [[C* 대수]]이다. 이러한 [[C* 대수]]는 항상 적절한 [[위상 공간 (수학)|위상]]에 대하여 [[닫힌집합]]을 이루는, [[복소수 힐베르트 공간]] 위의 [[유계 작용소]] 대수로 나타낼 수 있다.<ref>{{서적 인용|first=J.|last= Dixmier|저자링크=자크 디미에|title=Les algèbres d’opérateurs dans l’espace hilbertien: algèbres de von Neumann|publisher= Gauthier-Villars  |year=1957|언어=fr}}</ref><ref>{{서적 인용|first=B.|last=Blackadar|title=Operator algebras|isbn=3-540-28486-9|publisher=Springer|year=2005|url=http://wolfweb.unr.edu/homepage/bruceb/Cycr.pdf|언어=en|확인날짜=2017-02-05|보존url=https://web.archive.org/web/20170215081436/http://wolfweb.unr.edu/homepage/bruceb/Cycr.pdf|보존날짜=2017-02-15|url-status=dead}}</ref><ref>{{서적 인용|first=A.|last= Connes |저자링크=알랭 콘|url=http://www.alainconnes.org/docs/book94bigpdf.pdf |title=Non-commutative geometry| isbn=0-12-185860-X|year=1994|publisher=Academic Press|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|first=Shoichiro|last= Sakai|제목=C*-algebras and W*-algebras|publisher= Springer-Verlag |날짜=1971| isbn =3-540-63633-1|doi=10.1007/978-3-642-61993-9|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|arxiv=0812.1763|제목=The symbiosis of C*- and W*-algebras|이름=Nathanial P.|성=Brown|bibcode=2008arXiv0812.1763B|날짜=2008|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
폰 노이만 대수의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
* 추상적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 특별한 성질을 만족시키는 [[C* 대수]]로 정의될 수 있다.
* 구체적으로, 폰 노이만 대수는 어떤 적절한 위상에 대하여 [[닫힌집합]]인, [[복소수 힐베르트 공간]] 위의 [[유계 작용소]] [[C* 대수]]로 정의될 수 있다.
이 두 정의는 서로 [[동치]]이다.

=== 추상적 정의 ===
[[C* 대수]] <Math>\mathcal A</math>가 주어졌다고 하자. 이는 [[복소수 바나흐 대수]], 특히 [[복소수 바나흐 공간]]을 이룬다. 만약 <math>\mathcal A\cong V^*</math>가 되는 [[복소수 바나흐 공간]] <math>V</math>가 존재한다면, <math>\mathcal A</math>를 '''폰 노이만 대수'''라고 한다. (여기서 <Math>\cong</math>은 [[복소수 바나흐 공간]] 사이의 [[등거리 변환|등거리]] [[복소수 선형 변환|복소수 선형]] [[전단사 함수]]의 존재이며, <math>V^*</math>는 <math>V</math>의 복소수 [[연속 쌍대 공간]]이다.)

사실, 이러한 [[복소수 바나흐 공간]] <Math>V</math>는 ([[등거리 변환|등거리]] [[복소수 선형 변환|복소수 선형]] [[전단사 함수]] 아래) 유일하다. 이를 <math>\mathcal A</math>의 '''원쌍대 공간'''({{llang|en|predual}})이라고 한다.

=== 구체적 정의 ===
[[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math> 위의 [[유계 작용소]]들의 [[C* 대수]] <math>\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>를 생각하자. 그 부분 집합 <math>\mathcal A\subseteq \operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>가 덧셈과 [[함수의 합성|합성]]과 [[에르미트 수반]]과 복소수 스칼라곱에 대하여 닫혀 있으며 [[항등 함수|항등원]]을 포함한다고 하자. 이제, 집합
:<math>\mathcal A'=\{T\in\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)\colon\forall A\in\mathcal A\colon TA=AT\}</math>
및
:<math>\mathcal A''=\{T\in\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)\colon\forall A'\in\mathcal A'\colon TA'=A'T\}</math>
를 정의할 수 있다.

그렇다면, '''폰 노이만 정리'''에 따르면, <math>\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>의 다음 세 부분 집합이 모두 같다.
* <math>\mathcal A</math>의 강한 [[작용소 위상]](즉, 점별 노름 수렴 위상)에서의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]
* <math>\mathcal A</math>의 약한 [[작용소 위상]](즉, 점별 [[약한-* 위상]] 수렴 위상)에서의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]
* <math>\mathcal A''</math>

만약 <math>\mathcal A=\mathcal A''</math>이라면, <math>\mathcal A</math>(와 동형인 [[C* 대수]])를 '''폰 노이만 대수'''라고 한다. 이 정의에 따라, 임의의 부분 집합 <math>\mathcal S\subseteq\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>가 주어졌을 때 <math>\mathcal S</math>를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수
:<math>\operatorname{vN}(\mathcal S)
=\left(
\operatorname{Span}_{\mathbb C}\{S_1S_2\dotsm S_n\colon n\in\mathbb N,
S_1,S_2,\dotsc,S_n\in\mathcal S\cup \mathcal S^*
\}\right)''
</math>
가 존재함을 알 수 있다. 이를 '''<math>\mathcal S</math>로 생성되는 폰 노이만 대수'''({{llang|en|von Neumann algebra generated by <math>\mathcal S</math>}})라고 한다.

추상적 정의에 따른 임의의 폰 노이만 대수에 대하여, [[겔판트-나이마르크 정리]]를 통해 이를 힐베르트 공간 위의 작용소 대수로 표현할 수 있다. 반대로, 구체적 정의에 대한 폰 노이만 대수는 (힐베르트 공간 위의 작용을 무시할 때) 항상 추상적 정의에 부합한다.

=== 무게 ===
폰 노이만 대수 <math>A</math>의 원소 <math>a\in A</math>에 대하여, 만약 <Math>a=b^*b</math>인 <Math>b\in A</math>가 존재한다면, <math>a</math>를 '''양원소'''(陽元素, {{llang|en|positive element}})라고 한다. 양원소의 집합을 <Math>A^+</math>로 표기하자. 이들의 집합은 [[반환 (수학)|반환]] <math>[0,\infty)</math> 위의 가군을 이룬다. 마찬가지로, <math>[0,\infty]</math>는 <math>[0,\infty)</math> 위의 가군을 이룬다.

<math>[0,\infty)</math>-선형 함수
:<math>\omega\colon A^+\to[0,\infty]</math>
를 '''무게'''라고 한다. 즉, 무게는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>\omega(\alpha a+\beta b)=\alpha \omega(a)+\beta\omega(b)\qquad\forall\alpha,\beta\in\mathbb R,\;a,b\in A^+</math>
위 정의에서 <Math>0\cdot\infty=0</math>으로 놓는다.

만약 무게 <math>\omega</math>가 <Math>\omega(1)=1</math>을 만족시킨다면, 이를 '''상태'''(狀態, {{llang|en|state}})라고 한다. 무게 <math>\omega</math>가
:<math>\omega(aa^*)=\omega(a^*a)\qquad\forall a\in A</math>
를 만족시킨다면, 이를 '''대각합'''(對角合, {{llang|en|trace}})이라고 한다.

== 분류 ==
폰 노이만 대수 <math>A</math> 가운데, 만약 <math>\operatorname Z(A)=\mathbb C\cdot1_A</math>라면, <math>A</math>를 '''폰 노이만 인자'''(von Neumann因子, {{llang|en|von Neumann factor}})라고 하자. (여기서 <math>\operatorname Z(-)</math>는 [[환의 중심|환으로서의 중심]]이다.)

모든 폰 노이만 대수는 인자들의 직접 적분({{llang|en|direct integral}})
:<math>A=\int_X^\oplus A_x\;\mathrm d\mu(x)</math>
으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 사실상 유일하다. 따라서, 폰 노이만 대수의 분류는 [[인자 대수]]의 분류로 귀결된다. 인자 대수의 분류는 상당 부분 알려져 있다.

== 예 ==
=== 유계 작용소 ===
임의의 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>에 대하여, 모든 [[유계 작용소]]의 대수 <math>\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)</math>는 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, 그 원쌍대 공간은 [[대각합]]을 부여한, [[대각합류 작용소]]의 [[복소수 바나흐 공간]] <math>(\mathfrak S_1(\mathcal H,\mathcal H),\operatorname{tr})</math>이다.

=== 르베그 공간 ===
<math>X</math>가 [[시그마 유한 측도|시그마 유한]] [[측도 공간]]이라고 하자.

복소수 값 ∞-[[르베그 공간]] <math>\operatorname L^\infty(X;\mathbb C)</math>은 (점별 덧셈과 곱셈 및 복소수 켤레에 대하여) 폰 노이만 대수를 이룬다. 그 원쌍대 공간은 1-[[르베그 공간]] <math>\operatorname L^1(X;\mathbb C)</math>이다.

<math>\operatorname L^\infty(X;\mathbb C)</math>는 [[복소수 힐베르트 공간]] <math>\operatorname L^2(X;\mathbb C)</math> 위에 작용하는 [[유계 작용소]] 대수로 여길 수 있다. 즉, 다음과 같은 표준적인 매장이 존재한다.
:<math>\operatorname L^\infty(X;\mathbb C)\hookrightarrow \operatorname B(\operatorname L^2(X;\mathbb C),\operatorname L^2(\mathbb R;\mathbb C))</math>
:<math>[f]\mapsto([g]\mapsto [fg])</math>

=== 이중 연속 쌍대 공간 ===
'''셔먼-다케다 정리'''(Sherman-[武田]定理, {{llang|en|Sherman–Takeda theorem}})에 따르면, 임의의 [[C*-대수]] <math>A</math>에 대하여, 그 이중 [[연속 쌍대 공간]] <math>A^{**}</math>는 표준적으로 폰 노이만 대수를 이룬다. 이 경우, <math>A^{**}</math>를 <math>A</math>의 '''포락 폰 노이만 대수'''({{llang|en|enveloping von Neumann algebra}})라고 한다.

== 역사 ==
폰 노이만 정리는 [[존 폰 노이만]]이 증명하였다.<ref>{{저널 인용|first=J. |last=von Neumann|저자링크=존 폰 노이만|doi=10.1007/BF01782352|title= Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren|journal= Mathematische Annalen|volume=102 |issue=1 |year=1930|pages= 370–427|언어=de}}</ref><ref>{{서적 인용|last=Murray|first= F. J.|장=The rings of operators papers|title=The legacy of John von Neumann (Hempstead, NY, 1988)|pages=  57–60|총서= Proceedings of Symposia on Pure Mathematics|volume= 50|publisher= American Mathematical Society|isbn=0-8218-4219-6|언어=en}}</ref> 이후 폰 노이만과 프랜시스 조지프 머리({{llang|en|Francis Joseph Murray}}, 1911~1996)가 폰 노이만 대수의 기초적 연구를 진행하였다.<ref>{{저널 인용|first=Francis Joseph|last= Murray|first2=John |last2=von Neumann |저자링크2=존 폰 노이만|title=On rings of operators| journal= Annals of Mathematics |volume= 37  |날짜=1936|pages=116–229| doi=10.2307/1968693 |jstor=1968693|issue=1|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|first=Francis Joseph|last= Murray|first2=John |last2=von Neumann |저자링크2=존 폰 노이만|title=On rings of operators II|journal= Transactions of the American Mathematical Society |volume= 41  |날짜=1937|pages= 208–248 |doi=10.2307/1989620|issue=2|jstor=1989620|publisher=American Mathematical Society|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|first=Francis Joseph|last= Murray|first2=John |last2=von Neumann|저자링크2=존 폰 노이만 |title=On rings of operators IV|journal= Annals of Mathematics |volume= 44  |날짜=1943|pages= 716–808| doi=10.2307/1969107 |jstor=1969107|issue=4|언어=en}}</ref> 폰 노이만 대수의 추상적인 정의는 사카이 쇼이치로({{llang|ja|境 正一郎}}, 1928~)가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=A characterization of ''W''<sup>∗</sup>-algebras|이름=Shôichirô|성=Sakai|쪽=763–773|저널=Pacific Journal of Mathematics|권=6|호=4|날짜=1956|url=http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103043801|mr=84115|zbl=0072.12404|issn=0030-8730|언어=en}}</ref>

셔먼-다케다 정리는 시모어 셔먼({{llang|en|Seymour Sherman}}, 1917~1977)이 1950년에 증명 없이 발표하였으며,<ref>{{서적 인용 | last1=Sherman | first1=S. | title=Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1950. Volume 1 | 장url=http://mathunion.org/ICM/ICM1950.1/Main/icm1950.1.0448.0476.ocr.pdf#page=23 | publisher=American Mathematical Society | volume=1 | chapter=The second adjoint of a ''C''* algebra | pages=470 | year=1950 | 언어=en | access-date=2017-02-05 | archive-date=2013-07-18 | archive-url=https://web.archive.org/web/20130718060722/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1950.1/Main/icm1950.1.0448.0476.ocr.pdf#page=23 }}</ref> 1954년에 다케다 지로({{llang|ja|武田 二郎}})가 증명을 출판하였다.<ref>{{저널 인용 | 성=Takeda | 이름=Zirô | title=Conjugate spaces of operator algebras | doi=10.3792/pja/1195526177 | mr=63578 | year=1954 | journal=Proceedings of the Japan Academy | issn=0021-4280 | 권=30 | 호=2 | pages=90–95|언어=en}}</ref>

이후 [[알랭 콘]]과 [[본 존스]] 등이 폰 노이만 대수의 이론에 크게 공헌하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Von Neumann algebra}}
* {{매스월드|id=vonNeumannAlgebra|title=Von Neumann algebra}}
* {{매스월드|id=W-Star-Algebra|title=W^* algebra}}
* {{nlab|id=von Neumann algebra|title=Von Neumann algebra}}
* {{nlab|id=enveloping von Neumann algebra|title=Enveloping von Neumann algebra}}

{{전거 통제}}

[[분류:연산자 이론]]
[[분류:대수]]
[[분류:존 폰 노이만]]