폰트랴긴 특성류 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[위상수학]]에서 '''폰트랴긴 특성류'''(Понтрягин特性類, {{llang|en|Pontryagin class}})는 실수 [[벡터 다발]]의 [[특성류]]의 하나다.<ref>{{서적 인용
  |이름 = John Willard|성=Milnor | 저자링크=존 밀너 | 이름2= James Dillon |성2= Stasheff
  |제목= Characteristic classes
  |출판사=Princeton University Press
  |날짜= 1974
  | url = http://press.princeton.edu/titles/1571.html | 총서=Annals of Mathematics Studies | 권=76 | isbn=978-069108122-9 | 언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용 | last=Hatcher | first=Allen |title=Vector bundles and K-Theory | edition=2.1판 | 연도=2009 |월=5 | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/VBKT/VBpage.html}}
</ref> 그 복소화의 [[천 특성류]]로 정의할 수 있다.

== 정의 ==
<math>E</math>가 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 <math>n</math>차원 실수 [[벡터 다발]]이라고 하자. 실수 [[벡터 다발]] <math>E</math>가 <math>\operatorname{SO}(n)</math>-[[주다발]]인 [[틀다발]] <math>P\twoheadrightarrow M</math>의 [[연관 벡터 다발]]이라고 하자.

=== 구체적 정의 ===
<math>P</math>의 [[주곡률]] <math>F</math>를 정의할 수 있다. 이는 [[리 대수]] [[특수직교군|<math>\mathfrak{so}(\dim E)</math>]]의 값을 갖는 [[2차 미분 형식]]이다.

그렇다면 다음과 같은 [[생성 함수]]를 생각할 수 있다.
:<math>\det(I+tF/2\pi)=\sum_{k=0}^\infty t^{2k}p_k(E)</math>.
우변에서 <math>k</math>가 홀수인 항들은 <math>F</math>의 반대칭성에 의하여 사라진다. <math>p_k</math>는 [[미분 형식]]으로 간주하면 <math>E</math>의 [[틀다발]]에 의존하지만, 그 [[드람 코호몰로지]]는 [[천-베유 이론]]({{lang|en|Chern–Weil theory}})에 따라서 틀다발에 의존하지 않는다는 사실을 보일 수 있다. 즉, 코호몰로지 원소 <math>p_k\in H^{4k}(M,\mathbb Q)</math>는 실수 벡터 다발 <math>E</math>의 위상수학적 불변량이다. 이를 <math>k</math>차 '''폰트랴긴 특성류'''라고 한다.

'''총 폰트랴긴 특성류'''({{lang|en|total Pontryagin class}}) <math>p</math>는 모든 차수들의 폰트랴긴 특성류의 합이다. 즉
:<math>p=\sum_{k=0}^\infty p_k(E)=\det(I+F/2\pi)\in H^\bullet(M,\mathbb Q)</math>
이다.

=== 추상적 정의 ===
<math>\operatorname O(n)</math>-[[주다발]] <math>P</math>는 [[분류 공간]] <math>\operatorname{BO}(n)</math>으로 가는 [[연속 함수]]
:<math>f \colon M \to \operatorname{BO}(n)</math>
의 [[호모토피류]]로 분류된다. 그런데 [[직교군]]은 [[유니터리 군]]의 부분군이다.
:<math>\iota\colon\operatorname O(n) \hookrightarrow \operatorname U(n)</math>
따라서 이에 대응되는 [[분류 공간]] 사이의 함수가 존재한다.
:<math>\mathrm B\iota\colon\operatorname{BO}(n) \to \operatorname{BU}(n)</math>
(이는 실수 [[벡터 다발]]의 복소화에 해당한다.) <math>\operatorname{BU}(n)</math> 위에는 [[천 특성류]]에 해당하는 코호몰로지류
:<math>c_k \in \operatorname H^{2k}(\operatorname{BU}(n))</math>
가 존재한다. 이를 [[당김]]으로서 <math>\operatorname{BO}(n)</math> 위에 정의할 수 있는데, 이 경우
:<math>(\mathrm B\iota)^*c_{2k+1} = 0 \in \operatorname H^{4k+2}(\operatorname{BO}(n))</math>
이다. 즉, 짝수 차수 [[천 특성류]]만이 살아남으며, 이를 (역사적인 이유로 부호를 붙이면) '''폰트랴긴 특성류'''라고 한다.
:<math>p_k = (-)^k (\mathrm B\iota)^*c_{2k} \in \operatorname H^{4k}(\operatorname{BO}(n))</math>
이 경우, <math>E</math>의 폰트랴긴 특성류는 분류 공간 위의 폰트랴긴 특성류의 [[당김]]
:<math>p_k(E) = f^*p_k \in \operatorname H^{4k}(M)</math>
이다.

== 성질 ==
서로 [[위상 동형]]인 [[다양체]]는 같은 [[유리수]] 폰트랴긴 특성류를 갖는다.<ref name="Novikov"/> 즉, 폰트랴긴 특성류는 [[매끄러움 구조]]에 의존하지 않는다.

=== 천 특성류와의 관계 ===
폰트랴긴 특성류는 실수 [[벡터 다발]]에 대하여 정의되는 [[특성류]]이고, [[천 특성류]]는 [[복소수 벡터 다발]]에 대하여 정의되는 [[특성류]]이다. 이 사이에는 일련의 관계가 존재한다.

[[직교군]]과 [[유니터리 군]] 사이에는 다음과 같은 표준적인 포함 관계가 존재한다.
:<math>\operatorname O(n) \,\overset\iota\hookrightarrow\, \operatorname U(n) \,\overset{\iota'}\hookrightarrow\, \operatorname O(2n)</math>
이는 [[분류 공간]] 사이의 [[연속 함수]](의 [[호모토피류]])
:<math>\operatorname{BO}(n) \,\overset{\mathrm B\iota}\hookrightarrow\, \operatorname{BU}(n) \,\overset{\mathrm B\iota'}\hookrightarrow\, \operatorname{BO}(2n)</math>
를 정의한다. 이에 대하여, 천 특성류와 폰트랴긴 특성류 사이의 관계는 다음과 같다.
:<math>\operatorname p_k = (-) (\mathrm B\iota)^* \operatorname c_k \in \operatorname H^{4k}(\operatorname{BO}(n))</math>
:<math>(-)^k(\mathrm B\iota')^*\operatorname p_k = \sum_{i+j=2k} (-)^i \operatorname c_i \operatorname c_j \in \operatorname H^{4k}(\operatorname{BU}(n))</math>

이를 [[벡터 다발]]의 언어로 번역하면 다음과 같다.
* 사상 <math>\mathrm B\iota\colon \operatorname{BO}(n)\to\operatorname{BU}(n)</math>는 실수 [[벡터 다발]]의 복소화에 해당한다.
* 사상 <math>\mathrm B\iota'\colon \operatorname{BU}(n)\to\operatorname{BO}(2n)</math>은 [[복소수 벡터 다발]]에서 복소구조를 잊는 것에 해당한다.
즉, 실수 벡터 다발 <math>E</math>의 폰트랴긴 특성류는 그 다발의 복소화 <math>E\otimes\mathbb C</math>의 [[천 특성류]]로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:<math>\operatorname p_k(E)=(-)^k\operatorname c_{2k}(E\otimes\mathbb C)\in\operatorname H^{4k}(M)</math>
천 특성류 <math>c_k</math>는 <math>2k</math>차 [[코호몰로지]] 원소이므로, 폰트랴긴 특성류 <math>p_k</math>는 <math>4k</math>차 [[코호몰로지]] 원소이다. (<math>E\otimes\mathbb C</math>의 홀수차 [[천 특성류]]는 [[슈티펠-휘트니 특성류]]으로 나타낼 수 있다.)

반대로, [[복소수 벡터 다발]] <math>E</math>의 (복소구조를 잊었을 때) 폰트랴긴 특성류는 그 [[천 특성류]]로부터 다음과 같이 주어진다.
:<math>\operatorname p_k(E) = (-)^k \sum_{i+j=2k}(-)^i\operatorname c_i(E)\operatorname c_j(E) \in \operatorname H^{4k}(M)</math>

=== 분수 폰트랴긴 특성류 ===
<math>M</math> 위의 <math>n</math>차원 유향 실수 [[벡터 다발]] <math>E</math>의 '''[[스핀 구조]]'''는 그 구조군을 [[특수 직교군]]에서 [[스핀 군]]으로 올리는 것이다. 즉, 다음과 같은 가환 그림에 해당한다.
:<math>\begin{matrix}
&& \operatorname{BSpin}(n) \\ 
& \nearrow & \scriptstyle{\!\!\!\!\!\color{White}\mathrm Bq\;}\downarrow \scriptstyle{\;\mathrm Bq\!\!\!\!\!}\\
M & \to & \operatorname{BSO}(n) \\
\end{matrix}</math>
여기서 <math>\mathrm Bq</math>는 몫사상
:<math>q \colon \operatorname{Spin}(n) \twoheadrightarrow \operatorname{SO}(n)</math>
에 대응하는, [[분류 공간]] 사이의 사상
:<math>\mathrm Bq\colon \operatorname{BSpin}(n) \to \operatorname{BSO}(n)</math>
이다.

이 경우, [[스핀 군]]은 [[단일 연결]] [[단순 리 군]]이므로
:<math>\pi_i(\operatorname{Spin}(n)) = 0\qquad(i<3)</math>
:<math>\pi_3(\operatorname{Spin}(n)) = \mathbb Z</math>
이다. 따라서, 스핀 군의 [[분류 공간]]의 [[호모토피 군]]은
:<math>\pi_i(\operatorname{BSpin}(n)) = 0 \qquad(i<4)</math>
:<math>\pi_4(\operatorname{Spin}(n)) = \mathbb Z</math>
이므로, [[후레비치 준동형]]이 [[동형]]이며,
:<math>\operatorname H^4(\operatorname{BSpin}(n)) = \mathbb Z</math>
이다. 따라서, 그 생성원을 <math>\alpha</math>라고 하자. 그렇다면,
:<math>(\mathrm Bq)^*\operatorname p_1 = 2\alpha \in \operatorname H^4(\operatorname{BSpin}(n))</math>
임을 보일 수 있다. 따라서, 이를 사용하여,
:<math>\operatorname p_1(E) = 2 \cdot (\tfrac12\operatorname p_1(E)) \in 2\operatorname H^4(M)</math>
가 되는 [[특성류]]
:<math>\tfrac12\operatorname p_1(E) \in \operatorname H^4(M)</math>
를 정의할 수 있다. 이를 '''1차 분수 폰트랴긴 특성류'''(一次分數Понтрягин特性類, {{llang|en|first fractional Pontryagin class}})라고 한다.<ref name="SSS">{{저널 인용|arxiv=0805.0564|제목=Fivebrane structures|언어=en}}</ref>{{rp|§4.4.1}}

마찬가지로, 만약 <math>E</math>가 '''끈 구조'''({{llang|en|string structure}})를 갖는다면, 즉 만약 가환 그림
:<math>\begin{matrix}
&& \operatorname{BString}(n) \\ 
& \nearrow & \scriptstyle{\!\!\!\!\!\color{White}\mathrm Bq\;}\downarrow \scriptstyle{\;\mathrm Bq\!\!\!\!\!}\\
M & \to & \operatorname{BSO}(n) \\
\end{matrix}</math>
이 존재한다면, '''2차 분수 폰트랴긴 특성류'''(二次分數Понтрягин特性類, {{llang|en|second fractional Pontryagin class}})
:<math>\tfrac16\operatorname p_2(E) \in \operatorname H^8(E)</math>
가 존재한다.<ref name="SSS"/>{{rp|§4.4.2}} 여기서 <math>\operatorname{String}(n)</math>은 [[끈 군]]이다.

== 예 ==
낮은 차수의 폰트랴긴 특성류는 다음과 같다.
:<math>\operatorname p_0=1</math>
:<math>\operatorname p_1=-\frac1{2(2\pi)^2}\operatorname{tr} F^2</math>
:<math>\operatorname p_2=\frac1{8(2\pi)^4}\left((\operatorname{tr} F^2)^2-2\operatorname{tr} F^4\right)</math>

== 역사 ==
러시아의 수학자 [[레프 폰트랴긴]]이 1947년에 정의하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Лев С.|성=Понтрягин|저자링크=레프 폰트랴긴|제목=Характеристические циклы дифференцируемых многообразий|저널=Математический сборник|권=21|호=2|날짜=1947|쪽=233–284|url=http://mi.mathnet.ru/msb6237|mr=22667|zbl=0037.10305|언어=ru}}{{깨진 링크|url=http://mi.mathnet.ru/msb6237 }}</ref> [[세르게이 노비코프 (수학자)|세르게이 노비코프]]가 1966년에 폰트랴긴 특성류가 위상수학적 불변량이라는 사실을 증명하였다.<ref name="Novikov">{{저널 인용|성=Новиков|이름=С. П.|저자링크=세르게이 노비코프 (수학자)|저널=Известия Академии наук СССР. Отделение математических и естественных наук. Серия математическая|권=30|호=1|날짜=1966|쪽=207–246|제목=О многообразиях со свободной абелевой фундаментальной группой и их применениях (классы Понтрягина, гладкости, многомерные узлы)|mr=196765|zbl=0199.58202|url=http://mi.mathnet.ru/izv2826|언어=ru}}{{깨진 링크|url=http://mi.mathnet.ru/izv2826 }}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[천-사이먼스 형식]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Pontryagin class}}
* {{nlab|id=Pontryagin class}}

[[분류:미분위상수학]]
[[분류:특성류]]