포흐하머 기호 문서 원본 보기

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[[조합론]]에서 '''포흐하머 기호'''({{llang|en|Pochhammer symbol}})는 연속의 [[정수]]들의 곱을 나타내는 기호 <math>(x)_n</math> 또는 <math>x^{(n)}</math>이다.

== 정의 ==
'''포흐하머 기호'''의 표현에는 두 종류가 있다. 하나는 '''하강 계승'''({{llang|en|falling factorial}})
:<math>x^{\underline n}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\frac{x!}{(x-n)!}=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}</math>
이고, 다른 하나는 '''상승 계승'''({{llang|en|rising factorial}})
:<math>x^{\overline n}=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\frac{(x+n-1)!}{(x-1)!}=\frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}</math>
이다. 정의에 따라 <math>(x)_0=x^{(0)}=1</math>이다.

포흐하머 기호의 표기는 분야 및 저자에 따라 다를 수 있으므로 주의하여야 한다. 수학 분야에 따라서, 다음과 같은 다른 표기가 존재한다.
:{| class=wikitable
! !! 하강 !! 상승
|-
! [[도널드 커누스]]
| <math>x^{\underline n}</math> || <math>x^{\overline n}</math>
|-
! [[조합론]]
| <math>(x)_n</math> || <math>x^{(n)}</math>
|-
! [[초기하함수]] 이론
| (없음) || <math>(x)_n</math>
|}
밑줄 · 윗줄을 쓰는 표기는 [[도널드 커누스]]가 도입하였다.<ref name="Knuth"/>

== 성질 ==
하강 포흐하머 기호
:<math>p_n(x)=x^{\underline n}</math>
및 상승 포흐하머 기호
:<math>q_n(x)=x^{\overline n}</math>
는 각각 [[이항형 다항식열]]을 이룬다. 하강 포흐하머 기호의 경우
:<math>(x+1)^{\underline n}-x^{\underline n}=\left((x+1)-(x-n+1)\right)x^{\underline{n-1}}nx^{\underline{n-1}}</math>
이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 전방 [[유한 차분]]
:<math>\Delta_+f=\left(\exp\left(\frac d{dx}\right)-1\right)f=f(x+1)-f(x)</math>
이다. 마찬가지로, 상승 포흐하머 기호의 경우
:<math>x^{\overline n}-(x-1)^{\overline n}=\left((x+n-1)-(x-1)\right)x^{\overline{n-1}}=nx^{\overline{n-1}}</math>
이므로, 이에 대응하는 델타 작용소는 후방 [[유한 차분]]
:<math>\Delta_-f=\left(1-\exp\left(-\frac d{dx}\right)\right)f=f(x+1)-f(x)</math>
이다.

== 역사 ==
[[프로이센]]의 수학자 [[레오 아우구스트 포흐하머]]의 이름을 땄다. 그러나 포흐하머 자신은 오히려 <math>(x)_n</math>을 [[이항계수]] <math>\textstyle\binom xn</math>을 나타내는 데 사용하였다.<ref name="Knuth">{{저널 인용|arxiv=math/9205211|이름=Donald|성=Knuth|저자링크=도널드 커누스|제목=Two notes on notation|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1992-05_99_5/page/n4|bibcode=1992math......5211K|저널=American Mathematical Monthly|권=99|날짜=1992|호=5|쪽=403–422|jstor=2325085|doi=10.2307/2325085|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[큐-포흐하머 기호]]
* [[계승 (수학)]]
* [[스털링 수]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=PochhammerSymbol|title=Pochhammer Symbol}}
* {{매스월드|id=RisingFactorial|title=Rising factorial}}
* {{매스월드|id=FallingFactorial|title=Falling factorial}}

[[분류:계승과 이항식 주제]]
[[분류:함수와 사상]]
[[분류:유한차분법]]