포괄적 필터 문서 원본 보기

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[[순서론]]에서 '''포괄적 필터'''(包括的filter, {{llang|en|generic filter}})는 모든 [[공시작 집합]]과 겹치는 [[필터 (수학)|필터]]이다. 이 개념은 [[강제법]]에 응용된다.

== 정의 ==
[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 [[필터 (수학)|필터]] <math>F\subseteq P</math>를 <math>P</math>의 '''포괄적 필터'''({{llang|en|generic filter}})라 부른다.<ref name="Jech">{{서적 인용 | last=Jech | first=Thomas | title=Set theory | url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 | publisher= Springer-Verlag | series=Springer Monographs in Mathematics | 날짜=2003 | doi=10.1007/3-540-44761-X | issn= 1439-7382 | 판 = 3 | isbn= 978-3-540-44085-7 | zbl = 1007.03002 | 언어=en | id={{iaid|settheory0000jech_f7i4}}}}</ref>{{rp|202, Definition 14.1}}
*  모든 [[공시작 집합]] <math>D\subseteq P</math>에 대하여, <math>D\cap F\ne\varnothing</math>
집합론에서는 [[공시작 집합]]을 ‘조밀 집합({{lang|en|dense set}})’이라고 부르기도 한다.

위 정의를 일반화해서 <math>P</math> 속의 [[집합족]] <math>\mathcal D\subseteq\mathcal P(P)</math>가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 [[필터 (수학)|필터]] <math>F\subseteq P</math>를 '''<math>\mathcal D</math>-포괄적 필터'''({{llang|en|<math>\mathcal D</math>-generic filter}})라고 부른다.
* 모든 <math>D\in\mathcal D</math>에 대하여, <math>D\cap F\ne\varnothing</math>

마찬가지로, [[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>에 대해서 다음 조건을 만족시키는 [[순서 아이디얼]] <math>I\subseteq P</math>를 '''포괄적 순서 아이디얼'''({{llang|en|generic order ideal}})이라 부른다.
* 모든 [[공종 집합]] <math>D\subseteq P</math>에 대하여, <math>D\cap I\ne\varnothing</math>
마찬가지로 '''<math>\mathcal D</math>-포괄적 순서 아이디얼'''을 정의할 수 있다.

== 성질 ==
=== 라시오바-시코르스키 보조정리 ===

[[체르멜로-프렝켈 집합론|ZFC]]를 가정하면 다음이 성립한다:

{{인용문|'''라시오바-시코르스키 보조정리'''

[[원순서 집합]] <math>(P,\lesssim)</math>와 가산 개의 [[공시작 집합]]들로 이루어진 집합족 <math>\mathcal D\subseteq\mathcal P(P)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 <math>\mathcal D</math>-포괄적 필터 <math>F\subseteq P</math>가 존재한다.

또한, 임의의 원소 <math>x\in P</math>에 대해서 <math>x\in F</math>인 <math>\mathcal D</math>-포괄적 필터 <math>F\subseteq P</math>가 존재한다.}}

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''라시오바-시코르스키 보조정리의 증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\mathcal D=\{D_1,D_2,\dots\}</math>라고 하자. 그렇다면, 원소열 <math>(x_i)_{i=0}^\infty\in P</math>을 다음과 같이 정의하자.
* <math>x_0=x</math>
* <math>x_i\in P</math>가 주어졌을 때, <math>D_{i+1}</math>이 [[공시작 집합]]이므로, <math>x_{i+1}\lesssim x_i</math>인 <math>x_{i+1}\in D_{i+1}</math>를 [[선택 공리]]를 사용하여 고른다.
그렇다면
:<math>F=\uparrow\{x_0,x_1,x_2,\dots\}=\bigcup_{i=0}^\infty\uparrow\{x_i\}</math>
는 <math>\mathcal D</math>-일반 필터이다. (여기서 <math>\uparrow</math>는 [[상폐포]]를 뜻한다.)
</div></div>

== 응용 ==
흔히, [[강제법]]에서는 [[집합론]]의 [[표준 추이적 모형]] <math>\langle M,\in\rangle</math>을 다루는데, 이 경우 강제법 [[원순서 집합]] <math>P</math> 속의, <math>M</math>의 원소인 [[공시작 집합]]들의 집합
:<math>\mathcal D=\operatorname{Coinit}(P,\lesssim)\cap M</math>
에 대한 <math>\mathcal D</math>-포괄적 필터 또는 순서 아이디얼을 사용한다.<ref name="Jech"/>{{rp|202, Chapter 14}}

== 역사 ==
라시오바-시코르스키 보조정리는 1950년에 {{임시링크|헬레나 라시오바|pl|Helena Rasiowa}}와 {{임시링크|로만 시코르스키|pl|Roman Sikorski}}가 증명하였다. 그들은 이를 이용해 [[괴델의 완전성 정리]]를 집합론적인 접근법으로 증명했다.<ref>{{저널 인용|성=Rasiowa|이름=Helena|성2=Sikorski|이름2=Roman|url=https://eudml.org/doc/213213|제목=A proof of the completeness theorem of Gödel|저널=Fundamenta Mathematicae|권=37|쪽=193–200|날짜=1950|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:강제법]]
[[분류:순서론]]