평탄 주접속 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[미분기하학]]에서 '''평탄 주접속'''(平坦主接續, {{llang|en|flat principal connection}})은 [[곡률]]이 0인 [[주접속]]이다.<ref>{{서적 인용 | url=https://faculty.math.illinois.edu/~michiel2/docs/thesis.pdf | 제목=Moduli spaces of flat connections | 기타=석사 학위 논문 | 이름=Daan | 성=Michiels | 날짜=2013 | 출판사=Katholieke Universiteit Leuven | 언어=en | access-date=2017-10-05 | archive-date=2017-10-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171006062020/https://faculty.math.illinois.edu/~michiel2/docs/thesis.pdf | url-status= }}</ref>

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* [[리 군]] <math>G</math>
* <math>G</math>-[[매끄러운 주다발]] <math>P\twoheadrightarrow M</math>
그렇다면, <math>P</math>의 [[주접속]]
:<math>A\in\Omega^1(P;\mathfrak g)</math>
에 대하여, 곡률
:<math>F\in\Omega^2(P;\mathfrak g)</math>
을 정의할 수 있다. 만약 <math>F=0</math>이라면, <math>A</math>를 <math>P</math>의 '''평탄 주접속'''이라고 한다.

=== 제르브의 경우 ===
보다 일반적으로, 이러한 개념은 ∞-주다발/[[제르브]]에 대하여 일반화될 수 있다. 편의상, ∞-리 군 대신 그 국소 형태인 [[L∞-대수]]를 사용하자. (이는 [[기본군]]을 잊어 [[범피복군]]을 취하는 것에 해당한다.)

구체적으로, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>과 [[L∞-대수]] <math>\mathfrak g</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 [[리 대수 값 미분 형식|<math>\mathfrak g</math> 값의 1차 미분 형식]]의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 단순히 실수 [[미분 등급 대수]]의 [[준동형]]
:<math>\operatorname W(\mathfrak g)\to\Omega(M)</math>
이다 ([[정의역]]은 <math>\mathfrak g</math>의 [[베유 대수]], [[공역]]은 <math>M</math>의 [[미분 형식]]의 대수).

이 경우, [[매끄러운 다양체]] 위의 <math>\mathfrak g</math>-접속은 다음과 같은 가환 그림으로 정의된다.
:<math>\begin{matrix}
\operatorname{inv}(\mathfrak g) & \to & \Omega(M) \\
\downarrow & & \downarrow \\
\operatorname W(\mathfrak g) & \to & \operatorname\Omega(M\times\triangle^1) \\
\downarrow && \downarrow\\
\operatorname{CE}(\mathfrak g) & \to & \operatorname{\Omega_\perp}(M\times\triangle^1) 
\end{matrix}</math>
여기서
* <math>\triangle^1</math>은 1차원 [[단체 (수학)|단체]]에 해당한다. 즉, <math>\operatorname\Omega(M\times\triangle^1)</math>은 <math>\Omega(M)\otimes_{\mathbb R}\mathbb R[s,\mathrm ds]</math>이며, <math>\mathbb R[s,\mathrm ds] = \operatorname\Omega(\triangle^1)</math>은 하나의 0차 생성원 <math>s</math>로 생성되는 자유 [[가환 미분 등급 대수]]이다.
* <math>\operatorname{\Omega_{vert}}(M\times\triangle^1)</math>는 <math>\operatorname\Omega(M\times\triangle^1)</math> 속의, <math>\mathrm dt</math>로 생성되는 [[아이디얼]]이다.
* 사상 <math>\operatorname{\Omega_\perp}(M\times\triangle^1)\to\operatorname\Omega(M)</math>은 포함 사상이다.
* <math>\operatorname{inv}(\mathfrak g)</math>와 <math>\operatorname W(\mathfrak g)</math>와 <math>\operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>는 각각 [[L∞-대수]] <math>\mathfrak g</math>의 [[불변 다항식]](으로 생성되는, 모든 미분이 0인 자유 실수 가환 결합 대수) · [[베유 대수]] · [[슈발레-에일렌베르크 대수]]이며, <math>\operatorname W(\mathfrak g)\to\operatorname{CE}(\mathfrak g)</math>은 [[베유 대수]]의 추가 생성원들을 0으로 보내는 몫 준동형이다.

이 가환 그림의, 맨 위의 수평 사상은 게이지 불변량을, 가운데의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜을, 맨 아래의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜의 [[게이지 변환]]을 각각 나타낸다.

이 가운데, 평탄 <math>\mathfrak g</math>-주접속은 모든 게이지 불변량이 0이 되는 경우이다. 즉, 이 경우 ([[완전열]]이 아닐 수 있는) [[공사슬 복합체]]
:<math>\operatorname{inv}(\mathfrak g) \to \operatorname W(\mathfrak g) \to \operatorname\Omega(M\times\triangle^1)</math>
가 존재한다.

== 성질 ==
=== 평탄 주접속 모듈러스 공간 위의 추가 구조 ===
만약 밑공간 <math>M</math> 위에 [[복소구조]]나 [[심플렉틱 구조]]와 같은 추가 기하학적 구조가 존재한다면, 그 위의 평탄 주접속 모듈러스 공간은 이들 구조를 상속받을 수 있다.

==== 복소구조 ====
만약 <math>M</math>에 [[복소구조]]
:<math>J_M \colon \mathrm TM\to\mathrm TM</math>
가 존재한다고 하면, <math>\mathcal M(\Sigma)</math> 위에도 역시 다음과 같은 [[복소구조]]가 존재한다. 임의의 <math>\delta A\in T_A\mathcal M(\Sigma)</math>를 <math>\Omega^1(\Sigma,\mathfrak g)</math>의 원소로 나타내면,
:<math>J\colon\mathrm T_A\mathcal M(\Sigma)\to\mathrm T_A\mathcal M(\Sigma)</math> 
:<math>[J(\delta A)]^j=(J_M)_i{}^j(\delta A)_i</math>
여기서, 우변의 <math>J_i{}^j</math>는 <math>M</math>의 [[복소구조]]다.

==== 심플렉틱 구조 ====
<math>G</math>의 [[리 대수]]가 불변 [[양의 정부호]] [[이차 형식]] <math>K(-,-)</math>을 갖춘 [[가약 리 대수]]라고 하자. ([[반단순 리 대수]]의 경우 이는 [[킬링 형식]] <math>K(AB)=\operatorname{tr}(AB)</math>의 스칼라배다.)

만약 <math>M</math>에 [[심플렉틱 구조]]
:<math>\omega\in\Omega^2(M)</math>
가 주어졌다고 하면, 평탄 주접속의 [[모듈라이 공간]] <math>\mathcal M(M;G)</math> 역시 [[심플렉틱 구조]]를 가진다.<math>\mathcal M(\Sigma)</math>는 자연스러운 [[심플렉틱 구조]]를 가진다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1098/rsta.1983.0017|이름=Michael F.|성=Atiyah|저자링크=마이클 아티야|저자링크2=라울 보트|이름2=Raoul|성2= Bott|제목=The Yang–Mills equations over Riemann surfaces|저널=Philosophical Transactions of the Royal Society A|date=1983-03-17|권=308|호=1505|쪽=523–615|zbl=0509.14014|언어=en}}</ref><ref>{{서적 인용|장=Symplectic geometry|날짜=2006|이름=Ana|성=Cannas da Silva|arxiv=math/0505366|bibcode=2005math......5366C|제목=Handbook of Differential Geometry. Volume 2|쪽=79–188|doi=10.1016/S1874-5741(06)80006-3|출판사=Elsevier|editor1-first=Franki J.E.|editor1-last=Dillen|editor2-first=Leopold C.A. |editor2-last=Verstraelen|언어=en}}</ref>{{rp|85–87}} 구체적으로, 임의의 <math>\mathcal M</math>의 [[접공간]]의 원소 <math>\delta_1A,\delta_2 A\in T_A\mathcal M(\Sigma)</math>가 주어졌다고 하자. 이들을 <math>\mathfrak g</math>
:<math>\omega(\delta A_1,\delta A_2)=\int_\Sigma \omega^{ij} K_{ab}\delta_1 A^a_i\wedge\delta_2 A^a_j</math>
로 정의할 수 있다. 평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다.

만약 <math>M</math>이 [[켈러 다양체]]이라면, <math>\mathcal M(M,G)</math>는 [[심플렉틱 구조]]와 [[복소구조]]를 가지며, 이 둘은 호환되어 [[켈러 구조]]를 이룬다. 특히, <math>M</math>이 [[리만 곡면]]일 때 이 경우가 해당한다.

=== 반단순 리 군의 경우 ===
<math>G</math>가 콤팩트 [[반단순 리 군]]이라고 하자.
콤팩트 곡면 <math>\Sigma</math> 위의 평탄 <math>G</math>-[[주접속]]들의 게이지 변환에 대한 [[동치류]]들의 모듈러스 공간은 대수학적으로
:<math>\mathcal M(\Sigma)\cong\hom(\pi_1(\Sigma),G)/G</math>
이다. 여기서 <math>\pi_1(\Sigma)</math>는 <math>\Sigma</math>의 [[기본군]]이고, <math>\hom(\cdot,\cdot)</math>은 [[군 준동형]]들의 공간이며, <math>/G</math>는 [[동치관계]] <math>\phi\sim g\phi g^{-1}</math>에 대한 [[동치류]]를 취하는 것이다. 예를 들어, <math>G</math>가 [[아벨 군]]이면
:<math>\mathcal M(\Sigma)\cong\hom(\pi_1(\Sigma),G)\cong G^{2g}</math>
이다. 여기서 <math>g</math>는 <math>\Sigma</math>의 [[곡면 종수]]이다. 반면, <math>G</math>가 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[반단순 리 군]]인 경우, <math>\mathcal M</math>은 복잡한 위상을 가진다.

곡면 <math>\Sigma</math>의 [[기본군]]은 다음과 같이 [[군의 표시|표시]]된다.
:<math>\pi_1(\Sigma)=\langle a_1,b_1,\dots,a_g,b_g|a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}\rangle</math>
따라서, <math>\hom(\pi_1(\Sigma),G)</math>의 한 원소는 <math>\pi_1(\Sigma)</math>의 생성원 <math>\{a_i,b_i\}_{i=1,\dots,g}</math>의 각 원소의 [[상 (수학)|상]]을 지정하여 나타낼 수 있다. 이는 <math>2g(\dim G)</math>개의 좌표가 필요하다. 물론, 여기에 <math>\phi(a_1)\phi(b_1)\phi(a_1)^{-1}\phi(b_1)^{-1}\cdots=1</math>은 <math>\dim G</math>개의 제약을 가하고, 또한 <math>G</math>의 켤레 작용 <math>\phi\sim g\phi g^{-1}</math> 또한 차원을 <math>\dim G</math>만큼 축소시키므로, [[모듈라이 공간]]의 차원은
:<math>\dim\mathcal M=-\chi(\Sigma)\cdot\dim G=(2g-2)\cdot\dim G</math>
이다.<ref name="Witten1989">{{저널 인용|언어=en|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|mr=0990772|zbl=0667.57005|저널=Communications in Mathematical Physics|권=121|호=3|날짜=1989|쪽=351–399|제목=Quantum field theory and the Jones polynomial||url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104178138|doi=10.1007/BF01217730|issn=0010-3616|bibcode=1989CMaPh.121..351W}}</ref>{{rp|368}} 여기서 <math>\chi(\Sigma)=2-2g</math>는 <math>\Sigma</math>의 [[오일러 지표]]다.

== 분류 ==
평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 [[홀로노미]]에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, <math>M</math>이 [[연결 공간]]일 경우, 임의의 점 <math>x\in M</math>에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 다음과 같은 [[군 준동형]]을 [[홀로노미]]([[윌슨 고리]])로서 유도한다.
:<math>\operatorname\pi_1(M,x) \to G</math>
게이지 변환에 따라서, <math>M</math> 위의 평탄 주접속들의 [[모듈라이 공간]]은 [[몫공간]]
:<math>\mathcal M=\frac{\hom(\pi_1(M,x),G)}G</math>
이다. 여기서 <math>G</math>의 [[군의 작용|작용]]은 다음과 같은 [[공액류]] 작용이다.
:<math>g\cdot\phi = ([\gamma]\mapsto[t\mapsto g\gamma(t)^{-1}])</math>
평탄 주접속들의 [[모듈라이 공간]]은 일반적으로 [[매끄러운 다양체]]가 아닐 수 있다.

특히, 만약 <math>G</math>가 [[아벨 군]]일 경우 이는 단순히 <math>\mathcal M=\hom(\pi_1(M,x))</math>이며, 만약 <math>M=\mathbb T^n</math>이 [[원환면]]일 경우 이는 <math>\mathcal M=G^n</math>이다.

== 예 ==
=== 단일 연결 공간 ===
연결 [[단일 연결]] [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>을 생각하자. 그 위의 <math>G</math>-[[주다발]]은 (동형 아래) 유일하며, 그 속의 평탄 주접속의 [[모듈라이 공간]]은 [[한원소 공간]]이다.

특히, [[구 (기하학)|구]] <math>\Sigma=S^2</math>의 경우, 이는 (자명한 [[켈러 다양체]] 구조를 갖춘) [[한원소 공간]]
:<math>\mathcal M(S^2;G)=\{\bullet\}</math>
이다.

=== 원환면 ===
[[원환면]] <math>\Sigma=\mathbb T^2=\mathbb S^1\times\mathbb  S^1</math>의 경우, [[반단순 리 군]] <math>G</math>에 대하여
:<math>\mathcal M(\mathbb T^2;G)=(C(G)\times C(G))/\operatorname{Weyl}(G)</math>
이다. 여기서 <math>C(G)\cong U(1)^{\operatorname{rank}(G)}</math>는 <math>G</math>의 [[카르탕 부분군]](최대 아벨 부분군)이며, <math>\operatorname{Weyl}(G)</math>는 <math>C(G)</math>에 작용하는 [[바일 군]]이다.

==== 원환면 위의 U(''N''') 및 GL(''N'';ℂ) 주접속 ====
<math>\mathbb T^n</math> 위의 <math>\operatorname U(N)</math> 주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우, <math>n</math>개의 가환 홀로노미들은 <math>n</math>개의 서로 가환하는 <math>N\times N</math> [[유니터리 행렬]]
:<math>M_1,\dotsc,M_n</math>
을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여
:<math>M_i = \operatorname{diag}(\lambda_{i,1},\dotsc,\lambda_{i,N})</math>
:<math>\lambda_{i,j}\in\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}</math>
로 놓을 수 있다. 이제
:<math>\vec\lambda_j=(\lambda_{1,j},\dotsc,\lambda_{n,j})</math>
로 놓으면, 잉여 [[게이지 변환]]([[바일 군]] <math>\operatorname{Weyl}(\operatorname U(N))=\operatorname{Sym}(N)</math>의 작용)은 <math>\vec\lambda_1,\dotsc,\vec\lambda_N</math> 위에 [[순열]]로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 [[모듈라이 공간]]은 다음과 같은, [[원환면]] 위의 [[짜임새 공간]]으로 주어진다.
:<math>\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname U(N)) = \operatorname{Conf}^N(\mathbb T^n)</math>

<math>G=\operatorname U(N)</math> 대신 <math>G=\operatorname{GL}(N;\mathbb C)</math>의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우 <math>\lambda_{i,j}\in\{z\in\mathbb C\colon |z|=1\}</math> 대신
:<math>\lambda_{i,j}\in\mathbb C^\times=\mathbb C\setminus\{0\}</math>
이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 [[모듈라이 공간]]은 다음과 같은 [[짜임새 공간]]이다.
:<math>\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname U(N)) = \operatorname{Conf}^N\left((\mathbb C^\times)^{\times n}\right)</math>

==== 원환면 위의 U(''N''') 및 SL(''N'';ℂ) 주접속 ====
<math>\operatorname U(N)</math>의 경우와 마찬가지로, <math>G=\operatorname{SU}(N)</math>의 경우, 평탄 주접속의 [[모듈라이 공간]]은 (<math>\mathbb T^n</math>의 [[아벨 군]] 구조에 대한) 합이 0인, <math>\mathbb T^n</math> 위의 <math>N</math>개의 점들에 대한 짜임새 공간이다.
:<math>\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname{SU}(N)) = \frac{\{(\vec\lambda_1,\dotsc,\vec\lambda_N)\in (\mathbb T^n)^{\times N}\colon\sum_{i=1}^N\vec\lambda_i=0\}}{\operatorname{Sym}(N)}</math>

특히, <math>M=\mathbb T^2</math>일 때, <math>\mathbb T^2</math> 위에 [[타원 곡선]]의 구조를 부여하면, 이 <math>N</math>개의 점들은 <math>\mathbb T^2</math> 위의, 차수 <math>N</math>의 [[인자 (대수기하학)|인자]]를 정의하며, 이들은 <math>M</math> 위의, 차수 <math>N</math>의 복소수 [[선다발]] <math>L\twoheadrightarrow M</math>의 단면의 [[사영 공간|사영]] [[동치류]]와 [[일대일 대응]]한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 [[복소수 사영 공간]]
:<math>\mathcal M(\mathbb T^2;\operatorname{SU}(N)) = \operatorname{\mathbb P}(\operatorname H^0(L))</math>
이다. [[리만-로흐 정리]]에 의하여, <math>L</math>의 차수가 <math>N</math>이므로, 그 차원은
:<math>\dim_{\mathbb C}\operatorname H^0(L) = N - g(\mathbb T^2) + 1 = N</math>
이다. 즉,
:<math>\mathcal M(\mathbb T^2;\operatorname{SU}(N)) = \operatorname{Proj}(\operatorname H^0(L)) = \operatorname{\mathbb CP}^{N-1}</math>
이다.

<math>\operatorname{SL}(N;\mathbb C)</math>의 경우도 마찬가지지만, 덧셈 아벨 군 <math>\operatorname U(1)</math> 대신 곱셈 [[아벨 군]] <math>\mathbb C^\times</math>가 들어가게 된다.
:<math>\mathcal M(\mathbb T^n;\operatorname{SL}(N;\mathbb C)) = \frac{\{(\vec\lambda_1,\dotsc,\vec\lambda_N)\in((\mathbb C^\times)^n)^{\times N}\colon\prod_{j=1}^N\lambda_{i,j}=0\qquad\forall i\in\{1,\dotsc,n\}\}}{\operatorname{Sym}(N)}</math>

== 응용 ==
물리학에서, [[리만 곡면]] 위의 평탄 주접속의 [[모듈라이 공간]]은 [[천-사이먼스 이론]]의 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]으로서 등장한다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=moduli space of flat connections|title=Moduli space of flat connections}}
* {{nlab|id=quantization of 3d Chern-Simons theory|title=Quantization of 3d Chern-Simons theory}}
* {{nlab|id=Narasimhan–Seshadri theorem}}
* {{nlab|id=infinity-Chern-Weil theory introduction|title=Infinity-Chern-Weil theory introduction}}
* {{웹 인용|url=https://mathoverflow.net/questions/268203/moduli-space-of-flat-connections-sun-on-an-elliptic-curve-is-mathbbcpn | 제목=Moduli space of flat connections SU(''N'') on an elliptic curve is ℂP<sup>''N''−1</sup> | 출판사=Math Overflow | 언어=en}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:게이지 이론]]