평사도법 문서 원본 보기

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[[파일:Stereographic projection SW.JPG|섬네일]]
'''평사도법'''(平射圖法, stereographic projection)은 [[지도 투영법]]에서 [[극사영]]을 부르는 말로 [[정각도법]]이다. [[타원체]]에 맞게 변형한 것을 포함한다.

== 공식 ==
극을 투영 원점으로 삼았을 때, 위도를 <math>\phi</math>, 지도상의 거리를 <math>r</math>이라 하면 다음과 같이 주어진다.

<math> r = 2 (\sec \phi - \tan \phi) </math>

=== 증명 ===
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정각성에 의해 다음이 성립한다.

<math> - \frac {d\phi}{\cos \phi \, d\lambda} = \frac {dr}{r \, d\lambda} </math>

<math> \frac {dr}{r} = - \sec \phi \, d\phi </math>

<math> \log r = \log (\sec \phi - \tan \phi) + C </math>

이제 <math>C</math>를 구하면 된다. 투영 원점 근처에서는 길이가 보존되어야 하므로, <math>r' (\frac {\pi}{2}) = -1 </math>이다.

위의 식에서 <math> \frac {dr}{d\phi} = e^{C} ({\sec \phi \tan \phi - \sec ^2 \phi}) </math> 이므로,

<math> -1 = r' (\frac {\pi}{2}) = \lim_{ \phi \to \frac{\pi}{2} ^{-} } e^{C} ({\sec \phi \tan \phi - \sec ^2 \phi}) = e^{C} \lim_{ \phi \to \frac{\pi}{2} ^{-} } \frac {\sin \phi -1}{\cos ^2 \phi} = - \frac {e^C}{2} </math>

따라서 <math> e^{C} = 2 </math> 가 된다.
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{{토막글|과학}}

[[분류:지도 투영법]]