평균값 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Mvt2.svg|섬네일|(''a'', ''f''(''a''))와 (''b'', ''f''(''b''))의 연결선을 아래로 평행 이동하여 어떤 점 ''c''에서의 접선을 얻을 수 있다.]]
{{미적분학}}
[[미적분학]]에서 '''평균값 정리'''(平均-定理, {{llang|en|mean value theorem, 약자 MVT}})는 [[미분 가능 함수]]의 [[함수의 그래프|그래프]]의 [[할선]]과 평행하는 [[접선]]이 존재한다는 정리다.<ref>정용욱, 대학수학, 기전연구사, 2008, {{ISBN|8933607714}}, 115-120 쪽</ref> [[롤의 정리]]로부터 유도되며, [[테일러 정리]]를 비롯한 많은 확장이 존재한다. [[미적분학의 기본 정리]]를 증명하는 데 쓰이며, [[극값]] · [[고계 도함수]] · [[볼록 함수]] · [[역함수]]의 취급에도 응용된다.

== 정의 ==
=== 롤의 정리 ===
{{본문|롤의 정리}}
[[연속 함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 <math>(a,b)</math>에서 [[미분 가능 함수]]이며, 또한 <math>f(a)=f(b)</math>라고 하자. 그렇다면, <math>f'(c)=0</math>인 <math>c\in(a,b)</math>가 존재한다. 이를 '''롤의 정리'''라고 한다.

=== 평균값 정리 ===
[[연속 함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 <math>(a,b)</math>에서 [[미분 가능 함수]]라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 <math>c\in(a,b)</math>가 적어도 하나 존재한다.<ref>{{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8|쪽=17}}</ref>
:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
이를 '''평균값 정리'''라고 한다. 평균값 정리에 따라, 충분히 매끄러운 [[함수의 그래프]] <math>t\mapsto(t,f(t))</math>에 대하여, 양 끝점을 잇는 직선과 평행하는 그래프의 접선이 존재한다. 롤의 정리는 평균값 정리에서 <math>f(a)=f(b)</math>인 특수한 경우이다.
{{증명}}
함수 <math>g\colon[a,b]\to\mathbb R</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
(즉, <math>g</math>는 <math>f</math>에서 <math>f</math>의 양 끝점을 잇는 직선을 뺀 차와 같다.) 그렇다면, <math>g</math>는 [[연속 함수]]이며, <math>(a,b)</math>에서 [[미분 가능]]하며,
:<math>g(a)=g(b)=0</math>
이다. [[롤의 정리]]에 따라, 다음을 만족시키는 <math>c\in(a,b)</math>가 존재한다.
:<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
{{증명 끝}}

=== 코시 평균값 정리 ===
[[파일:Cauchy.svg|섬네일|곡선의 시작과 끝을 잇는 직선과 평행하는 접선을 찾을 수 있다.]]
[[연속 함수]] <math>f,g\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 <math>(a,b)</math>에서 [[미분 가능 함수]]라고 하자. 또한, <math>g'\ne0</math>라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 <math>c\in(a,b)</math>가 존재한다.
:<math>\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}</math>
이를 '''코시 평균값 정리'''({{llang|en|Cauchy's mean value theorem}}) 또는 '''확장 평균값 정리'''({{llang|en|extended mean value theorem}})라고 한다. 기하학적으로, 코시 평균값 정리에 따르면, 충분히 매끄러운 [[단순 곡선]] <math>t\mapsto(f(t),g(t))</math>이 [[임계점 (수학)|임계점]]을 갖지 않는다면, 두 끝점을 잇는 직선과 평행하는 접선을 갖는다. 평균값 정리는 코시 평균값 정리에서 <math>g(x)=x</math>인 특수한 경우이다. 곡선이 [[임계점 (수학)|임계점]]을 가질 수 있다면 반례가 존재한다. 예를 들어, 곡선
:<math>[-1,1]\to\mathbb R^2</math>
:<math>t\mapsto(t^3,1-t^2)</math>
의 양 끝점 <math>(-1,0)</math>, <math>(1,0)</math>을 지나는 직선은 수평선이지만, 수평 접선은 존재하지 않는다.
{{증명}}
[[다르부 함수|다르부 정리]]에 따라, 임의의 <math>x\in[a,b]</math>에 대하여 <math>g'(x)>0</math>이거나, 임의의 <math>x\in[a,b]</math>에 대하여 <math>g'(x)<0</math>이다. 함수 <math>h\colon[a,b]\to\mathbb R</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>h(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))</math>
그렇다면, <math>h</math>는 [[연속 함수]]이며, <math>(a,b)</math>에서 [[미분 가능]]하며,
:<math>h(a)=h(b)=0</math>
이다. [[롤의 정리]]에 따라, 다음을 만족시키는 <math>c\in(a,b)</math>가 존재한다.
:<math>0=h'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)</math>
{{증명 끝}}

=== 행렬식 평균값 정리 ===
함수 <math>f,g,h\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 <math>[a,b]</math>에서 [[연속 함수]], <math>(a,b)</math>에서 [[미분 가능 함수]]라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 <math>x\in(a,b)</math>가 존재한다.
:<math>\begin{vmatrix}f'(x)&g'(x)&h'(x)\\f(a)&g(a)&h(a)\\f(b)&g(b)&h(b)\end{vmatrix}=0</math>
코시 평균값 정리는 여기서 <math>h(x)=1</math>을 취한 특수한 경우이다.
{{증명}}
함수
:<math>D\colon[a,b]\to\mathbb R</math>
:<math>D(x)=\begin{vmatrix}
f(x)&g(x)&h(x)\\
f(a)&g(a)&h(a)\\
f(b)&g(b)&h(b)
\end{vmatrix}
</math>
에 [[롤의 정리]]를 적용한다.
{{증명 끝}}

=== 다변수 함수의 경우 ===
임의의 [[볼록 집합|볼록]] [[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 [[미분 가능 함수]] <math>f\colon U\to\mathbb R</math> 및 점 <math>\mathbf x,\mathbf y\in U</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>t_0\in(0,1)</math>가 존재한다.
:<math>f(\mathbf y)-f(\mathbf x)=\nabla f((1-t_0)\mathbf x+t_0\mathbf y)\cdot(\mathbf y-\mathbf x)</math>
(일변수 함수에 대한) 평균값 정리는 여기서 <math>n=1</math>을 취한 특수한 경우이다.
{{증명}}
함수 <math>g\colon[0,1]\to\mathbb R</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>g(t)=f((1-t)\mathbf x+t\mathbf y)</math>
그렇다면, <math>g</math>는 [[미분 가능 함수]]이다. 평균값 정리에 따라, 다음을 만족시키는 <math>t_0\in(0,1)</math>가 존재한다.
:<math>0=g'(t_0)=f'(g(t_0))\cdot(\mathbf y-\mathbf x)</math>
{{증명 끝}}

== 적분 평균값 정리 ==
=== 제1 적분 평균값 정리 ===
임의의 [[연속 함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>c\in(a,b)</math>가 존재한다.
:<math>\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)</math>
이에 따라, <math>f</math>의 그래프와 x축 사이의 영역의 넓이는 그래프의 한 점을 지나는 직선과 x축 사이의 직사각형의 넓이와 같다. 보다 일반적으로, 임의의 [[연속 함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math> 및 [[리만 적분 가능 함수]] <math>g\colon[a,b]\to[0,\infty)</math> (또는 <math>g\colon[a,b]\to(-\infty,0]</math>)에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>c\in(a,b)</math>가 존재한다.
:<math>\int_a^bf(x)g(x)dx=f(c)\int_a^bg(x)dx</math>
이를 '''제1 적분 평균값 정리'''({{llang|en|first mean value theorem for integrals}})라고 한다. <math>c\in[a,b]</math>의 존재는 [[중간값 정리]]을 사용하여 쉽게 보일 수 있다. <math>g</math>가 [[연속 함수]]라고 가정하면 <math>c\in(a,b)</math>의 존재 역시 [[미적분학]]만으로 보일 수 있다. 이러한 가정이 없는 경우 약간의 [[실해석학]]이 필요하다.
{{증명}}
편의상 <math>g\colon[a,b]\to[0,\infty)</math>라고 가정하자.
:<math>m=\inf f\in\mathbb R</math>
:<math>M=\sup f\in\mathbb R</math>
라고 하자. 임의의 <math>x\in[a,b]</math>에 대하여
:<math>mg(x)\le f(x)g(x)\le Mg(x)</math>
이므로,
:<math>m\int_a^bg(x)\,dx\le\int_a^bf(x)g(x)\,dx\le M\int_a^bg(x)dx</math>
이다. 만약
:<math>\int_a^bg(x)\,dx=0</math>
이라면, 위 부등식에 따라
:<math>\int_a^bf(x)g(x)\,dx=0</math>
이다. 이 경우 임의의 <math>c\in(a,b)</math>를 취한다. 만약
:<math>\int_a^bg(x)\,dx\ne0</math>
:<math>m<\frac{\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)\,dx}{\displaystyle\int_a^bg(x)\,dx}<M</math>
이라면, [[중간값 정리]]에 따라 다음을 만족시키는 <math>c\in(a,b)</math>가 존재한다.
:<math>f(c)=\frac{\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)\,dx}{\displaystyle\int_a^bg(x)\,dx}</math>
이제 나머지 경우를 증명하자. 편의상
:<math>\int_a^bg(x)\,dx\ne0</math>
:<math>\int_a^bf(x)g(x)\,dx=M\int_a^bg(x)dx</math>
라고 가정하자. 항상 <math>f(x)g(x)\le Mg(x)</math>이므로, 가정에 따라 [[거의 모든]] <math>x\in[a,b]</math>에 대하여 <math>f(x)g(x)=Mg(x)</math>이다. 마찬가지로, 항상 <math>g(x)\ge0</math>이므로, <math>g(x)>0</math>인 <math>x\in[a,b]</math>는 양의 [[르베그 측도]]의 집합을 이룬다. 마지막으로, 두 끝점 <math>a</math>와 <math>b</math>는 [[영집합]]을 이룬다. 따라서,
:<math>f(x)g(x)=Mg(x)</math>
:<math>g(x)>0</math>
:<math>x\ne a,b</math>
인 <math>x\in[a,b]</math>의 집합은 양의 [[르베그 측도]]를 가지며, 특히 [[공집합]]이 아니다. 즉,
:<math>f(c)=M=\frac{\displaystyle\int_a^bf(x)g(x)\,dx}{\displaystyle\int_a^bg(x)\,dx}</math>
인 <math>c\in(a,b)</math>가 존재한다.
{{증명 끝}}

=== 제2 적분 평균값 정리 ===
'''제2 적분 평균값 정리'''({{llang|en|second mean value theorem for integrals}})에 따르면, 다음 세 명제가 성립한다.
* 임의의 [[증가함수]] <math>f\colon[a,b]\to[0,\infty)</math> 및 [[리만 적분 가능 함수]] <math>g\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>c\in[a,b]</math>가 존재한다.
*:<math>\int_a^bf(x)g(x)\,dx=f(b)\int_c^bg(x)\,dx</math>
* 임의의 [[감소함수]] <math>f\colon[a,b]\to[0,\infty)</math> 및 [[리만 적분 가능 함수]] <math>g\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>c\in[a,b]</math>가 존재한다.
*:<math>\int_a^bf(x)g(x)\,dx=f(a)\int_a^cg(x)\,dx</math>
* 임의의 [[단조함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math> 및 [[리만 적분 가능 함수]] <math>g\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 <math>c\in[a,b]</math>가 존재한다.
*:<math>\int_a^bf(x)g(x)\,dx=f(a)\int_a^cg(x)\,dx+f(b)\int_c^bg(x)\,dx</math>
첫 번째·두 번째 명제는 <math>f</math>가 음이 아닌 값을 갖는다고 가정한다. 세 번째 명제에서, <math>f</math>는 부호가 변화하는 함수일 수 있으며, [[증가함수]]일 수도 [[감소함수]]일 수도 있다. 세 명제 모두 <math>g</math>에 대해서는 리만 적분 가능성밖에 가정하지 않는다. 제2 적분 평균값 정리의 증명 역시 [[중간값 정리]]를 사용한다. 이를 위해서는 적분 값의 상계와 하계를 주는 부등식을 증명해야 하는데, 만약 <math>g</math>가 음이 아닌 [[실수]] 값을 갖는다면 이는 자명하다. 만약 <math>g</math>의 연속성과 <math>f</math>의 1차 연속 미분 가능성을 가정하면, [[부분 적분]]을 사용할 수 있다. 일반적인 경우는 더 복잡하며, [[리만 적분]]을 유한합의 극한으로 전개한 뒤 [[아벨 변환]]을 가한다.
{{증명}}
임의의 [[감소함수]] <math>f\colon[a,b]\to[0,\infty)</math>에 대하여, <math>f_1\colon[a,b]\to[0,\infty)</math>, <math>f_1(x)=f(a+b-x)</math>는 [[증가함수]]이다. 임의의 [[증가함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, <math>f_2\colon[a,b]\to[0,\infty)</math>, <math>f_2(x)=f(x)-f(a)</math>는 증가함수이며, 음이 아닌 값을 갖는다. 임의의 [[감소함수]] <math>f\colon[a,b]\to\mathbb R</math>에 대하여, <math>f_3\colon[a,b]\to[0,\infty)</math>, <math>f_3(x)=f(x)-f(b)</math>는 감소함수이며, 음이 아닌 값을 갖는다. 따라서, 첫 번째 명제를 증명하는 것으로 족하다.

[[증가함수]] <math>f\colon[a,b]\to[0,\infty)</math> 및 [[리만 적분 가능 함수]] <math>g\colon[a,b]\to\mathbb R</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>f</math> 역시 [[리만 적분 가능]]하며, <math>g</math>는 [[유계 함수]]이다. 따라서, 임의의 구간 분할
:<math>P=(x_0^P,x_1^P,\dots,x_{n_P}^P)\in\operatorname{part}([a,b])</math>
:<math>a=x_0^P<x_1^P<\cdots<x_{n_P}^P=b</math>
에 대하여,
:<math>\begin{align}
\left|\sum_{i=1}^{n_P}\int_{x_{i-1}^P}^{x_i^P}(f(x)-f(x_i^P))g(x)\,dx\right|
&\le(\sup|g|)\cdot\left(\sum_{i=1}^{n_P}\left(\sup_{x\in[x_{i-1}^P,x_i^P]}f(x)\right)(x_i^P-x_{i-1}^P)-\sum_{i=1}^{n_P}\left(\inf_{x\in[x_{i-1}^P,x_i^P]}f(x)\right)(x_i^P-x_{i-1}^P)\right)\\
&\to(\sup|g|)\cdot\left(\mathcal U\int_a^bf(x)\,dx-\mathcal L\int_a^bf(x)\,dx\right)\qquad(P\in\operatorname{part}([a,b]))\\
&=0
\end{align}
</math>
이다. (여기서
:<math>\mathcal U\int_a^b</math>
:<math>\mathcal L\int_a^b</math>
는 [[리만 상적분]]·[[리만 하적분]]이다. <math>f</math>는 [[리만 적분 가능]]하므로 상적분과 하적분이 같다.)
:<math>h\colon[a,b]\to\mathbb R</math>
:<math>h(x)=\int_x^bg(t)\,dt</math>
라고 하자. 제1 [[미적분학의 기본 정리]]에 의하여, <math>h</math>는 [[연속 함수]]다.
:<math>m=\inf h\in\mathbb R</math>
:<math>M=\sup h\in\mathbb R</math>
라고 하자. 이제, [[아벨 변환]]을 통하여 적분의 상계와 하계를 다음과 같이 구할 수 있다.
:<math>\begin{align}
\int_a^bf(x)g(x)\,dx
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\sum_{i=1}^{n_P}\int_{x_{i-1}^P}^{x_i^P}f(x)g(x)\,dx\\
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\sum_{i=1}^{n_P}f(x_i^P)\int_{x_{i-1}^P}^{x_i^P}g(x)\,dx\\
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\sum_{i=1}^{n_P}f(x_i^P)(h(x_{i-1}^P)-h(x_i^P))\\
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\left(f(b)(h(a)-h(b))+\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_i^P)-f(x_{i+1}^P))(h(a)-h(x_i^P)\right)\\
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\left(f(b)h(a)+h(a)\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_i^P)-f(x_{i+1}^P))+\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))h(x_i^P)\right)\\
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\left(f(x_1)h(a)+\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))h(x_i^P)\right)\\
&\ge\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\left(mf(x_1)+m\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))\right)\\
&=mf(b)
\end{align}
</math>
:<math>\begin{align}
\int_a^bf(x)g(x)\,dx
&=\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\left(f(x_1)h(a)+\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))h(x_i^P)\right)\\
&\le\lim_{P\in\operatorname{part}([a,b])}\left(Mf(x_1)+M\sum_{i=1}^{n_P-1}(f(x_{i+1}^P)-f(x_i^P))\right)\\
&=Mf(b)
\end{align}
</math>
[[중간값 정리]]에 따라, 다음을 만족시키는 <math>c\in[a,b]</math>가 존재한다.
:<math>\int_a^bf(x)g(x)\,dx=h(c)f(b)=f(b)\int_c^bg(x)\,dx</math>
{{증명 끝}}

=== 복소 적분 형태 ===
[[복소평면]] 상에서 어떤 점 <math>z_0</math>을 중심으로 하는 반지름 <math>r</math>인 [[원 (기하학)|원]] 내에서 [[정칙함수|정칙]]인 함수 <math>f</math>에 대하여,
:<math>f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(z_0+re^{it})dt</math> 가 성립한다. 이것을 '''가우스의 평균값 정리'''라고 한다.
{{증명}}
[[코시의 적분공식]]에서 폐곡선을 원으로 취하면 즉시 얻을 수 있다.
{{증명 끝}}
<math>f(z)=u(z)+iv(z)</math>일 때, 양변에 실수부를 취한 다음 형태는 '''조화함수에 대한 가우스의 평균값 정리'''라고 한다.
:<math>u(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} u(z_0+re^{it})dt</math>

== 응용 ==
다음은 평균값 정리로부터 간단히 유도되는 몇 가지 명제들이다.
* 구간 <math>I</math>에 정의된 실수값함수 <math>f</math>가 만약 <math>I</math>에서 연속, <math>I</math>의 [[내부 (위상수학)|내부]]에서 미분 가능하며 항상 <math>f'(x) = 0</math>이라면, <math>f</math>는 <math>I</math>에서 [[상수함수]]이다.
* <math>f,g\colon I\to\mathbb R</math>가 만약 <math>I</math>에서 연속, 내부에선 항상 <math>f'(x) = g'(x)</math>라면, <math>f,g</math>는 <math>I</math>에서 상수 차이이다.
* <math>f\colon I\to\mathbb R</math>가 만약 <math>I</math>에서 연속, 내부에선 항상 <math>f'(x) \ge 0</math>이라면, <math>f</math>는 <math>I</math>에서 [[단조함수|단조증가]]한다.
이들의 증명은 서로 비슷하다. 다음은 첫 번째 명제의 증명이다. <math>I</math> 내부의 임의의 두 점 <math>a < b</math>에 대해, <math>f</math>는 <math>[a, b]</math>에서 평균값 정리의 전제를 만족한다. 따라서 다음을 만족하는 <math>c \in (a, b)</math>가 존재한다.
:<math>0 = f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>
즉 <math>f(a) = f(b)</math>. 이로써 <math>f</math>는 <math>I</math> 내부에서 상수이다. 연속성에 의해 <math>I</math> 전체에서 상수다.

== 역사 ==
이 정리의 최초의 입안자는 [[인도]]의 [[바타세리 파라메슈바라]](Vatasseri Parameshvara)로 기록되어 있으며<ref>J. J. O'Connor, E. F. Robertson (2000). {{llang|en|[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Paramesvara.html Paramesvara]}}를 보라</ref> 처음으로 공식화한 사람은 [[오귀스탱 루이 코시]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[조화 함수]]
* [[테일러 급수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 참고 문헌 ==
* 고석구, 『복소해석학개론(2판)』, 경문사, 2005
* {{서적 인용
|저자1=김락중
|저자2=박종안
|저자3=이춘호
|저자4=최규흥
|제목=해석학 입문
|판=3
|출판사=경문사
|날짜=2007
|isbn=978-8-96-105054-8
}}
* Robert G. Bartle, 『실해석학개론(3판)』, 범한서적주식회사, 2006
* {{서적 인용 |isbn=0-495-38362-7 |제목=Calculus(Metric International Version, 6th Edition) |저자=James Stewart |출판사=Brooks/Cole, Cengage Learning |연도=2009}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Mean value theorem}}
* {{매스월드|id=Mean-ValueTheorem|title=Mean-value theorem}}
* {{매스월드|id=CauchysMean-ValueTheorem|title=Cauchy's mean-value theorem}}
* {{매스월드|id=ExtendedMean-ValueTheorem|title=Extended mean-value theorem}}
* {{nlab|id=mean value theorem|title=Mean value theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=meanvaluetheorem|title=Mean-value theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=ProofOfMeanValueTheorem|title=Proof of mean value theorem}}
* {{플래닛매스|urlname=meanvaluetheoremforseveralvariables|title=mean-value theorem for several variables}}
* {{플래닛매스|urlname=complexmeanvaluetheorem|title=Complex mean-value theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:미적분학]]
[[분류:복소해석학]]
[[분류:측도론]]
[[분류:미적분학 정리]]