편미분 방정식 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''편미분 방정식'''(偏微分方程式, {{llang|en|partial differential equation}}, 약자 PDE)은 여러 개의 독립 [[변수 (수학)|변수]]로 구성된 [[함수]]와 그 함수의 [[편미분]]으로 연관된 [[방정식]]이다. 각각의 변수들의 상관관계를 고려하지 않고 변화량을 보고 싶을 때 이용할 수 있으며, [[상미분방정식]]에 비해 응용범위가 훨씬 크다. [[소리]]나 [[열]]의 전파 과정, [[전자기학]], [[유체역학]], [[양자역학]] 등 수많은 [[역학 (물리학)|역학]]계에 관련된 예가 많다.
{{포털|수학}}

== 정의 ==
<math>M</math>과 <math>N</math>이 [[매끄러운 다양체]]라고 하자. '''편미분 방정식'''은 다음과 같은 꼴의 [[미분 방정식]]이다.
:<math>F(x,u,\nabla_iu,\nabla_i\nabla_ju,\dots,\nabla_{i_1}\cdots\nabla_{i_k}u)=0</math>
:<math>x\in M,\;u\colon M\to N</math>

여기서 미분 연산자의 최고 계수 <math>k</math>를 편미분 방정식의 '''계수'''({{llang|en|order}})라고 하며, 이러한 꼴의 편미분 방정식을 '''<math>k</math>계 편미분 방정식'''이라고 한다. 만약 다양체 <math>N</math>이 2차원 이상이라면 이를 '''연립 편미분 방정식'''이라고 하며, 만약 <math>N</math>이 1차원이라면 '''비연립 편미분 방정식'''이라고 한다.

== 분류 ==
=== 1계 편미분 방정식 ===
1계 편미분 방정식은 대체로 '''[[특성곡선법]]'''을 사용하여 풀 수 있다. [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 일반적인 (비연립) 1계 편미분 방정식은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>F(x,u,\partial u/\partial x)=0\qquad(x\in M,\;u(x)\in\mathbb R)</math>
여기서 <math>u_{x_i}=\partial u/\partial x_i</math>이다. 이 경우, 임의의 해 <math>u(s)=u(x^i(s))</math>는 다음과 같은 [[상미분 방정식]]을 만족시킨다.
:<math>\frac{\dot x_i}{\partial F/\partial(\partial u/\partial x_i)}=-\frac1{\partial F/\partial x_i+(\partial u/\partial x^i)\partial F/\partial u}\dot p^i=\frac{\dot u}{\sum_ip_i(\partial F/\partial p_i)}</math>
따라서, 이 상미분 방정식을 풀어서 편미분 방정식의 해들을 찾을 수 있다.

=== 2계 편미분 방정식 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 일반적인 (비연립) 2계 편미분 방정식은 일반적으로 다음과 같은 꼴이다.
:<math>Q(\nabla_i\nabla_ju,x)+F(\nabla_iu,u,x)=0\qquad(x\in M,\;u(x)\in\mathbb R)</math>
따라서, <math>Q\colon M\to\operatorname{Sym}^2TM</math>는 <math>M</math>의 각 점에 실수 [[이차 형식]]을 정의한다. 이는 [[실베스터 관성법칙]]에 따라 이차 형식의 [[고윳값]]들의 부호에 따라서 분류할 수 있다. 구체적으로, 어떤 주어진 점 <math>x\in M</math>에서
*만약 <math>Q_x</math>의 모든 고윳값들이 양수라면, 이 2계 편미분 방정식이 '''타원형 편미분 방정식'''({{llang|en|elliptic partial differential equation}})이라고 한다.
** [[라플라스 방정식]] <math>u_{yy}+u_{xx}=0</math>이 대표적인 예이다.
*만약 <math>Q_x</math>의 모든 고윳값들이 음이 아닌 실수이며, 0인 고윳값이 존재한다면, 이 2계 편미분 방정식이 '''포물형 편미분 방정식'''({{llang|en|parabolic partial differential equation}})이라고 한다.
** [[열 방정식]] <math>u_t-u_{xx}=0</math>이 대표적인 예이다.
*만약 <math>Q_x</math>가 음의 고윳값을 갖는다면, 이 2계 편미분 방정식이 '''쌍곡형 편미분 방정식'''({{llang|en|hyperbolic partial differential equation}})이라고 한다.
** [[파동 방정식]] <math>u_{tt}-u_{xx}=0</math>이 대표적인 예이다.
타원형·포물형·쌍곡형 방정식들은 각각 현저히 다른 현상을 보인다.

=== 선형 편미분 방정식 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math>에서 [[벡터 공간]] <math>V</math>로 가는 함수 <math>u\colon M\to V</math>에 대한 '''선형 편미분 방정식'''은 다음과 같은 꼴이다.
:<math>c_0(x)u(x)+c_1^i(x)\nabla_iu(x)+c_2^{ij}(x)\nabla_i\nabla_ju(x)+\cdots+c_k^{i_1\cdots i_k}(x)\nabla_{i_1}\cdots\nabla_{i_k}u(x)=0</math>
이는 <math>M</math> 위의, <math>V</math>값을 갖는 매끄러운 함수들의 벡터 공간 <math>\mathcal C^\infty(M,V)</math> 위에 정의된 [[선형작용소]]의 [[고윳값]] 방정식이다. 즉, 이 경우 해 <math>u(x)</math>는 선형작용소
:<math>T=c_0(x)+c_1^i(x)\nabla_i+\cdots+c_k^{i_1\cdots i_k}(x)\nabla_{i_1}\cdots\nabla_{i_k}</math>
에 대하여 고윳값이 0인 고유벡터를 이룬다. 이 경우, [[함수해석학]]과 [[작용소 이론]]을 적용할 수 있다.

==  예 ==
* [[열 방정식]]
* [[파동 방정식]]
* [[전신 방정식]]
* [[슈뢰딩거 방정식]]
* [[라플라스 방정식]]
* [[푸아송 방정식]]
* [[헬름홀츠 방정식]]
* [[맥스웰 방정식]]
* [[런던 방정식]]
* [[연속 방정식]]
* [[라그랑주 방정식]]
* [[해밀턴 방정식]]
* [[해밀턴-야코비 방정식]]
* [[나비에-스토크스 방정식|나비에 스토크스 방정식]]

== 같이 보기 ==
* [[열 방정식]]
* [[파동 방정식]]
* [[라플라스 방정식]]
* [[헬름홀츠 방정식]]
* [[클라인-고든 방정식]]
* [[푸아송 방정식]]
* [[나비에-스토크스 방정식]]
* [[버거스 방정식]]
* [[디리클레 경계 조건]]
* [[노이만 경계 조건]]
* [[점화식]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용  | 성 = Kreyszig  | 이름 = Erwin  | 제목 = Advanced Engineering Mathematics  | url = https://archive.org/details/advancedengineer0008krey  | 판 = 8판  | 출판사 = John Wiley & Sons  | 연도 = 1999  | isbn = 0-471-15496-2 }}
* {{저널 인용| 저자=Andrei D. Polyanin, William E. Schiesser,  Alexei I. Zhurov| 제목= Partial differential equation | 저널 = Scholarpedia | 권= 3|호=10|쪽=4605|doi=10.4249/scholarpedia.4605}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Differential equation, partial}}
* {{eom|title=Linear partial differential equation}}
** {{eom|title=Linear elliptic partial differential equation and system}}
** {{eom|title=Linear parabolic partial differential equation and system}}
** {{eom|title=Linear hyperbolic partial differential equation and system}}
* {{eom|title=Non-linear partial differential equation}}
* {{eom|title=Differential equation, partial, of the second order}}
** {{eom|title=Elliptic partial differential equation}}
*** {{eom|title=Elliptic partial differential equation, numerical methods}}
** {{eom|title=Parabolic partial differential equation}}
*** {{eom|title=Parabolic partial differential equation, numerical methods}}
** {{eom|title=Hyperbolic partial differential equation}}
*** {{eom|title=Hyperbolic partial differential equation, numerical methods}}
* {{매스월드|id=PartialDifferentialEquation|title=Partial Differential Equation}}
{{미분방정식}}
{{전거 통제}}

[[분류:편미분 방정식| ]]
[[분류:수리물리학]]
[[분류:미분방정식]]