편각 원리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Argument principle1.svg|섬네일|경로 <math>\gamma</math>를 따라 <math>f'/f</math>를 적분한 결과는 <math>f</math>의 영점(파란색)과 [[극점 (복소해석학)|극점]](빨간색)의 개수를 이용하여 구할 수 있다.]]
[[복소해석학]]에서 '''편각 원리'''(偏角原理, {{llang|en|argument principle}})는 [[유리형 함수]]의 [[로그 도함수]]의 [[닫힌곡선]]을 따른 [[경로 적분]]과 경로 내부에 포함된 영점과 [[극점 (복소해석학)|극점]] 사이의 관계를 제시하는 정리이다.
 
== 정의 ==
[[연결 공간|연결]] [[열린집합]] <math>D\subseteq\mathbb C</math> 속의 [[길이를 갖는 곡선|길이를 갖는]] [[널호모토픽]] [[단순 닫힌곡선]] <math>\gamma\colon[0,1]\to D</math>가 주어졌고, [[유리형 함수]] <math>f\colon D\to\widehat{\mathbb C}</math>가 <math>\operatorname{im}\gamma</math> 위에서 영점이나 [[극점 (복소해석학)|극점]]을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면 '''편각 원리'''에 따르면 다음이 성립한다.<ref>강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007, 212쪽.</ref><ref>Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), ''Complex Analysis'', Princeton University Press, {{ISBN|0-691-11385-8}}, p.90.</ref>
:<math>\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\mathrm dz=\sum_{z_0}N(f;z_0)</math>
여기서 <math>\textstyle\sum_{z_0}</math>는 <math>\operatorname{im}\gamma</math>의 내부에 포함된 점들에 대한 합이며, <math>N(f;z_0)\in\mathbb Z</math>는
:<math>f(z)=\Theta(z-z_0)^{N(f;z_0)}\qquad(z\to z_0)</math>
을 만족시키는 정수이다. 즉, 만약 <math>z_0</math>이 영점이라면 영점의 차수이며, <math>z_0</math>이 극점이라면 극점의 차수의 −1배이며, 영점이나 극점이 아니라면 <math>N(f;z_0)=0</math>이다. 유리형 함수의 영점 또는 극점은 [[고립점]]이므로, <math>f</math>는 <math>\operatorname{im}\gamma</math>에서 유한 개의 영점 또는 극점을 가지며, 따라서 이 합은 유한하다.
 
== 증명 ==
우선, <math>f'/f</math>는 <math>\operatorname{im}\gamma</math>에서 영점이나 극점을 갖지 않으므로, <math>\gamma</math> 위의 경로 적분이 존재한다. 임의의 <math>\operatorname{im}\gamma</math> 내부의 점 <math>z_0</math>에 대하여, 다음과 같은 [[유리형 함수]] <math>g\colon D\to\widehat{\mathbb C}</math>를 정의하자.
:<math>g(z)=\frac{f(z)}{(z-z_0)^{N(f;z_0)}}\qquad\forall z\in D</math>
그렇다면, <math>N(f;z_0)</math>의 정의에 의하여, <math>g</math>는 어떤 열린 근방 <math>D\supseteq N\ni z_0</math>에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 따라서 <math>g'/g</math>는 <math>N</math>에서 극점을 갖지 않는다. 이제 <math>0<r<d(z_0,\partial N)</math>을 취하자. 그렇다면 [[코시 적분 정리]]에 의하여
:<math>\operatorname{Res}\left(\frac{f'}f;z_0\right)=\frac 1{2\pi i}\int_{|z-z_0|=r}\frac{f'(z)}{f(z)}\mathrm dz=\frac 1{2\pi i}\int_{|z-z_0|=r}\left(\frac{N(f;z_0)}{z-z_0}+\frac{g'(z)}{g(z)}\right)\mathrm dz=N(f;z_0)</math>
이며, 따라서 [[유수 정리]]에 의하여
:<math>\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}\mathrm dz=\sum_{z_0}\operatorname{Res}\left(\frac{f'}f;z_0\right)=\sum_{z_0}N(f;z_0)</math>
이다.
 
== 일반화 ==
연결 열린집합 <math>D\subseteq\mathbb C</math> 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 <math>\gamma\colon[0,1]\to D</math>가 주어졌고, 유리형 함수 <math>f\colon D\to\widehat{\mathbb C}</math>가 <math>\operatorname{im}\gamma</math> 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 임의의 [[정칙 함수]] <math>g\colon D\to\mathbb C</math>에 대하여,
:<math>\frac 1{2\pi i}\int_\gamma\frac{f'(z)}{f(z)}g(z)\mathrm dz=\sum_{z_0}N(f;z_0)g(z_0)</math>
이다.<ref>고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 268쪽.</ref> 이 정리에서
:<math>g(z)=1\qquad\forall z\in D</math>
를 취하면 편각 원리를 얻으며, 어떤 <math>z_0\in D</math>에 대하여
:<math>f(z)=z-z_0\qquad\forall z\in D</math>
를 취하면 [[코시 적분 공식]]을 얻는다. 이 정리는 [[아벨-플라나 공식]]을 증명하는 데 쓰인다.
 
== 역사 ==
[[프랑스]]의 수학자 [[오귀스탱 루이 코시]]가 증명하였다.
 
== 같이 보기 ==
* [[루셰 정리]]
 
== 각주 ==
{{각주}}
 
== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Argument, principle of the}}
* {{매스월드|id=ArgumentPrinciple|title=Argument principle}}
 
{{전거 통제}}

[[분류:복소해석학 정리]]