페아노 존재 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[동역학계 이론]]에서, '''페아노 존재 정리'''(-存在定理, {{llang|en|Peano existence theorem}})는 1계 [[상미분 방정식]]의 [[초깃값 문제]]의 해의 존재에 대한 정리이다.

== 정의 ==
다음과 같은 [[초깃값 문제]]를 생각하자.
:<math>y'(t)=f(t,y(t))</math>
:<math>y(t_0)=y_0</math>

[[열린집합]] <math>U\subseteq\mathbb R^n</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon[t_0,t_0+a]\times U\to\mathbb R^n</math>가 주어졌다고 하자. '''페아노 존재 정리'''에 따르면, 임의의 <math>y_0\in U</math>에 대하여, 위 [[초깃값 문제]]는 국소적 해 <math>\phi\colon[t_0,t_0+\delta]\to U</math> (<math>0<\delta\le a</math>)를 갖는다.<ref name="O’Regan">{{서적 인용
|성=O’Regan
|이름=Donal
|제목=Existence Theory for Nonlinear Ordinary Differential Equations
|언어=en
|총서=Mathematics and Its Applications
|권=398
|출판사=Springer
|위치=Dordrecht
|날짜=1997
|isbn=978-90-481-4835-6
|doi=10.1007/978-94-017-1517-1
}}</ref>{{rp|13, §3.2, Theorem 3.3}} 만약 추가로 <math>U=\mathbb R^n</math>이며 <math>f</math>가 [[유계 함수]]일 경우, 위 [[초깃값 문제]]는 대역적 해 <math>\phi\colon[t_0,t_0+a]\to U</math>를 갖는다.<ref name="O’Regan" />{{rp|12, §3.2, Theorem 3.2}}
{{증명|부제=국소적 해의 존재}}
우선
:<math>b>0</math>
:<math>\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)=\{y\in\mathbb R^n\colon|y-y_0|\le b\}\subseteq U</math>
:<math>M=\sup_{[t_0,t_0+a]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)}|f|<\infty</math>
:<math>\delta=\min\left\{a,\frac bM\right\}</math>
라고 하자. [[연속 함수]] <math>[t_0,t_0+\delta]\to\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)</math>들의 [[상한 노름]] <math>\Vert\cdot\Vert_\infty</math>에 대한 [[바나흐 공간]] <math>\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math> 위의 다음과 같은 적분 작용소를 생각하자.
:<math>T\colon\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))\to\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math>
:<math>T\phi\colon t\mapsto y_0+\int_{t_0}^tf(s,y(s))\mathrm ds</math>
이 작용소의 [[공역]]을 <math>\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math>로 제한할 수 있는 것은 임의의 <math>\phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math> 및 <math>t\in[t_0,t_0+\delta]</math>에 대하여
:<math>|(T\phi)(t)-y_0|\le\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))|\mathrm ds\le M\delta\le b</math>
이기 때문이다. 위 [[초깃값 문제]]의 해 <math>\phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math>는 자명하게 <math>T</math>의 [[고정점]]과 동치이다. [[샤우데르 고정점 정리]]에 따라, <math>T</math>의 [[고정점]]의 존재는 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.
* ㈀ <math>T</math>는 [[연속 함수]]
* 치역 <math>T(\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)))</math>은 <math>\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math>의 [[상대 콤팩트 집합]]
[[아르첼라-아스콜리 정리]]에 따라, 두 번째 조건은 다음 두 가지를 보이는 것으로 충분하다.
* ㈁ <math>T(\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)))</math>는 [[유계 집합]]
* ㈂ <math>T(\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)))</math>는 [[균등 동등 연속 함수족]]
㈀: <math>\Vert\phi_n-\phi\Vert_\infty\to 0</math>라고 가정하자. <math>f</math>는 <math>[t_0,t_0+\delta]\times\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b)</math>에서 [[균등 연속 함수]]이므로,
:<math>\sup_{s\in[t_0,t_0+\delta]}|f(s,\phi_n(s))-f(s,\phi(s))|\to 0</math>
이다. 또한
:<math>|(T\phi_n-T\phi)(t)|\le\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))-f(s,\psi(s))|\mathrm ds\le\delta\sup_{s\in[t_0,t_0+\delta]}|f(s,\phi(s))-f(s,\psi(s))|</math>
이므로,
:<math>\Vert T\phi_n-T\phi\Vert_\infty\le\delta\sup_{s\in[t_0,t_0+\delta]}|f(s,\phi(s))-f(s,\psi(s))|\to 0</math>
이다.

㈁: 임의의 <math>\phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math> 및 <math>t\in[t_0,t_0+\delta]</math>에 대하여,
:<math>|(T\phi)(t)|\le|y_0|+\int_{t_0}^t|f(s,\phi(s))|\mathrm ds\le|y_0|+M\delta</math>

㈂: 임의의 <math>\phi\in\mathcal C([t_0,t_0+\delta],\operatorname{cl}\operatorname{ball}(y_0,b))</math> 및 <math>t,t'\in[t_0,t_0+\delta]</math>에 대하여,
:<math>|(T\phi)(t)-(T\phi)(t')|\le\left|\int_{t'}^t|f(s,\phi(s))|\mathrm ds\right|\le M|t-t'|</math>
{{증명 끝}}
{{증명|부제=대역적 해의 존재}}
만약 <math>U=\mathbb R^n</math>이며 <math>f</math>가 [[유계 함수]]라면, 위 증명에서 <math>b=\infty</math> 및 <math>M=\sup|f|</math> 및 <math>\delta=a</math>를 취하면 대역적 해의 존재의 증명을 얻는다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
[[주세페 페아노]]의 이름을 땄다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Peano theorem}}

[[분류:상미분 방정식]]