페도의 부등식 문서 원본 보기

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'''페도의 부등식'''(Pedoe's inequality, -不等式)은 [[유클리드 기하학]] 및 [[삼각법]]의 [[부등식]]으로, [[영국]] [[수학자]] [[대니얼 페도]](Daniel Pedoe)의 이름이 붙어 있다. 임의로 두 [[삼각형]]이 주어져서 각각 세 [[삼각형|변]]의 [[길이]]를 (a, b, c), (A, B, C)라고 하고 두 삼각형의 [[넓이]]를 각각 f와 F로 할 때, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

* <math>A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)\geq 16Ff.</math>

부등식의 [[등호]]가 성립할 [[필요충분조건]]은 두 삼각형이 [[닮음 (기하학)|닮음]]인 것이다. 이 부등식은 [[하트비거-핀슬러 부등식]] 및 유명한 [[바이첸뵈크 부등식]]의 일반화로 볼 수 있다.
== 증명 ==
두 삼각형의 넓이는 [[헤론 공식]]을 사용해 다음과 같이 나타낼 수 있다:
:<math>16f^2=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)</math>
:<math>16F^2=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^2+B^2+C^2)^2-2(A^4+B^4+C^4)</math>

[[코시-슈바르츠 부등식]]을 사용하면
:<math>16Ff+2a^2A^2+2b^2B^2+2c^2C^2</math>
:<math>\leq \sqrt{(16f^2+2a^4+2b^4+2c^4)}\sqrt{(16F^2+2A^4+2B^4+2C^4)}</math>
:<math>= (a^2+b^2+c^2)(A^2+B^2+C^2) </math>
으로 나타낼 수 있으며, 그러므로
:<math>16Ff\leq  A^2(a^2+b^2+c^2)-2a^2A^2+B^2(a^2+b^2+c^2)-2b^2B^2+C^2(a^2+b^2+c^2)-2c^2C^2 </math>
:<math>=A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(a^2+b^2-c^2)</math> 
으로 증명할 수 있다.

식의 필요충분조건은 <math>\tfrac{a}{A}=\tfrac{b}{B}=\tfrac{c}{C}=\sqrt{\tfrac{f}{F}}</math>으로, 즉 두 삼각형이 닮음일 때 성립된다.

== 같이 보기 ==
* [[바이첸뵈크 부등식]]
* [[하트비거-핀슬러 부등식]]

== 참고 문헌 ==
* "A Two-Triangle Inequality", Daniel Pedoe, ''The American Mathematical Monthly'', volume 70, number 9, page 1012, November, 1963.
* "An Inequality for Two Triangles", D. Pedoe, ''Proceedings of the Cambridge Philosophical Society'', volume 38, part 4, page 397, 1943.

{{전거 통제}}

[[분류:유클리드 기하학]]
[[분류:삼각법]]
[[분류:부등식]]
[[분류:기하부등식]]