퍼텐셜 단 문서 원본 보기

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[[파일:StepF.png|섬네일]]
'''퍼텐셜 계단'''(step potential)은 [[양자역학]]과 [[산란이론]]에서 쓰이는 모델 시스템이다. 단 모양의 [[퍼텐셜]]에서의 입자에 대한 시간에 무관한 [[슈뢰딩거 방정식]]을 푸는 것으로 구성되어 있고, 보통 이 모델의 퍼텐셜은 [[단위계단함수|헤비사이드 계단함수]]로 나타낸다.

== 1차원 퍼텐셜 단 ==

=== 퍼텐셜 ===
[[파일:Step Potential.png|섬네일|오른쪽|350px|퍼텐셜 단]]
1차원 퍼텐셜 단의 퍼텐셜은 다음과 같이 [[단위계단함수|헤비사이드 계단함수]]로 주어진다.

:<math>V(x) = V_0 \theta(x) \; </math>

여기서

:<math>\theta(x) = \left\{\begin{matrix}
0 &  x<0  \\
1 & x>0 \end{matrix}\right.</math>

=== 일반해 ===
경계조건을 무시하고 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식을 풀면 아래와 같은 파동함수를 얻는다.

:<math>\psi(x) = \left\{\begin{matrix}
A e^{ikx} + B e^{-ikx} &  x<0  \\
C e^{ik'x} + D e^{-ik'x} & x>0 \end{matrix}\right.</math>

여기서,

:<math>k^2 = {2mE \over \hbar^2} \;</math>
:<math>k'^2 = {2m(E-V_0) \over \hbar^2} \;</math>
이다.

=== 경계조건 ===
시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식에 의하면 각 점에서 파동함수와 파동함수의 1차미분이 연속이여야 한다. 즉, 여기서는 파동함수에 대해

:<math> \psi(0^-) = \psi(0^+) \;</math>
:<math> \left. {d \psi \over dx} \right|_{x=0^-} = \left. {d \psi \over dx} \right|_{x=0^+}</math>

이 성립해야 한다. 여기서 0<sup>-</sup>와 0<sup>+</sup>는 각각 좌극한과 우극한을 의미한다.

위를 정리하면 첫 번째 경계조건에서

:<math> A +B = C + D \;</math>

두 번째 경계조건에서

:<math> ik(A-B) = ik' (C-D) \; </math>

를 얻는다.

== 반사와 산란 ==
이제 이 상황을 고전역학적 관점과 비교해 볼 수 있다. 고전역학에서 퍼텐셜 단이 이렇게 있으면, 에너지가 단보다 높으면 (E > V<sub>0</sub> 단을 무시하고 통과할 것이고 에너지가 단보다 낮으면 (E < V<sub>0</sub>) 단에서 모든 입자가 반사될 것이다.

하지만 양자역학적 관점에서는 다른 결과를 얻는다. 입자가 단의 낮은쪽에서 오는 경우에, 즉 D = 0 인 경우, 반사되는 입자와 관련된 상수 R = B와 투과하는 입자와 관련된 상수 T = C가 A에 대해 상대적으로 얼마의 값을 가지는지 확인해보자. 편의상 A를 1로 놓고 관계식

:<math> 1 +R = T  \;</math>
:<math> k(1-R) = k' T \; </math>

를 풀면

:<math> R = {k-k' \over k+k'}</math>
:<math> T = {2k \over k+k'}</math>

를 얻는다. 각각의 [[확률흐름]]을 계산해보면 x < 0 에서

:<math>j = {\hbar k \over m } (1- |R|^2)</math>

x > 0에서

:<math>j = {\hbar k' \over m } |T|^2</math>

가 되고 두 흐름이 x = 0에서 같아야 하므로

:<math>{\hbar k \over m } (1- |R|^2) = {\hbar k' \over m } |T|^2</math>

를 얻는다.

이제 여기서 반사된 흐름과 투과한 흐름의 양을 구할 수 있는데 반사된 흐름은

:<math>{\hbar k \over m } |R|^2 = {\hbar k \over m }  \left( {k-k' \over k+k'} \right)^2</math>

이고, 투과한 흐름은

:<math>{\hbar k' \over m } |T|^2 = {\hbar k \over m }  {4kk' \over \left(  k+k' \right)^2} </math>

이다. 보다시피 두 흐름의 양을 더하면 처음의 흐름의 양과 같아진다.

== 같이 보기 ==
* [[유한 퍼텐셜 우물]]
* [[상자속 입자]]
* [[델타 퍼텐셜]]
* [[퍼텐셜 장벽]]

{{전거 통제}}

[[분류:양자 모형]]
[[분류:양자역학 퍼텐셜]]
[[분류:산란 이론]]