퍼지 집합 문서 원본 보기

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'''퍼지 집합'''({{lang|en|fuzzy set}})은 기존의 [[집합]]을 [[퍼지 논리]] 개념을 사용해 확장한 것으로, 각 원소는 그 집합에 속하는 정도(소속도)가 존재한다. 이때 소속도는 0과 1 사이의 [[실수]]로 표현되고, 원소가 집합에 완전히 속하는 경우를 1, 전혀 속하지 않는 경우를 0으로 나타낸다.

퍼지 집합은 [[로트피 자데]]가 고전적인 집합을 확장한 개념으로서 고안하였다.

== 정의 ==
퍼지 집합 <math>A</math>은 고전적인 집합 <math>U</math>와 소속함수(membership function) <math> \mu_A: \, U \rarr [0, 1]</math>에 의하여 정의된다. 여기서 <math>x \in U</math>에 대해 <math> \mu_A(x)</math>는 <math>A</math>에 대한 <math>x</math>의 소속도를 나타낸다.

(여기에서 소속함수가 고전적인 집합에서의 [[지시 함수]]의 확장임을 알 수 있다.) 이것을 다음과 같이 표기한다.
: <math>A = \left\{(x, \mu_A(x))|x \in U \right\}</math>
이것을 소속함수 표기법이라 한다.
<math>U</math>가 [[유한 집합]]일 경우 고전적인 집합의 원소나열법과 비슷한 방법으로 표시할 수 있다.

예를 들어 <math> U = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5 \right\}</math>이고, <math> \mu_A(1) = 0.7,\, \mu_A(2) = 0.5,\, \mu_A(3) = 0.2,\, \mu_A(4) = 0,\, \mu_A(5) = 0</math>이라면 이것을
: <math>A = \left\{(1, 0.7), (2, 0.5), (3, 0.2) \right\}</math>
와 같은 순서쌍들의 나열로 표시할 수 있다.

그러나 <math> \left\{ x \in U | \mu_A(x) \ne 0 \right\}</math>에서 <math>U</math>가 [[무한 집합]]일 경우에는 이와 같은 방법을 적용할 수 없다.

== 기본 개념 ==
=== 전체집합과 공집합 ===
위의 예에서 소속함수들의 [[정의역]]인 집합 U를 [[전체집합]]이라 한다. 전체집합은 고전적인 집합임을 알 수 있다. 즉 모든 x에 대해 U에 대한 x의 소속도가 1이다. 쌍대 개념으로, [[공집합]]은 U 안의 모든 x에 대해 그에 대한 x의 소속도가 0인 집합을 말한다.

=== 연산 ===
전통적인 집합 개념과 같이, 퍼지 집합에서도 여집합, 합집합 등의 집합의 연산을 정의할 수 있다.
* 퍼지 여집합
퍼지 집합 <math>A</math>에 대하여 그 [[여집합]] <math>A^c</math>는 다음의 소속함수에 의하여 정의된다.
: <math>\mu_{A^c}(x) = 1 - \mu_A(x)</math>
* 퍼지 합집합
두 퍼지 집합 <math>A</math>와 <math>B</math>에 대하여 그 [[합집합]] <math>\scriptstyle A \cup B</math>는 다음의 소속함수에 의하여 정의된다.
: <math>\mu_{A \cup B}(x) = \max \left ( \mu_A \left ( x \right ), \mu_B \left ( x \right ) \right )</math>
즉 두 퍼지 집합에 대한 소속도 중에서 큰 쪽의 소속도를 가지게 된다.
* 퍼지 교집합
두 퍼지 집합 <math>A</math>와 <math>B</math>에 대하여 그 [[교집합]] <math>\scriptstyle A \cap B</math>는 다음의 소속함수에 의하여 정의된다.
: <math>\mu_{A \cap B}(x) = \min \left ( \mu_A \left ( x \right ), \mu_B \left ( x \right ) \right )</math>
퍼지 교집합은 퍼지 차집합과 상대적으로, 소속도 중에서 작은 쪽의 소속도를 가지게 된다.
* 퍼지 차집합
고전적인 집합에서와 같이, 두 퍼지 집합 <math>A</math>와 <math>B</math>에 대하여 그 [[차집합]] <math>A - B</math>는 다음과 같이 정의된다.
: <math>\displaystyle A - B = A \cap B^c</math>

== 같이 보기 ==
* [[중복집합]]
* [[불확실성]]

== 외부 링크 ==
* {{언어링크|en}} [https://web.archive.org/web/20071127005930/http://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdf Fuzzy Sets]

{{집합론}}
{{전거 통제}}
{{토막글|컴퓨터 과학}}

[[분류:퍼지 논리]]
[[분류:집합론]]