퍼지 구 문서 원본 보기

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[[비가환 기하학]]에서 '''퍼지 구'''(fuzzy球, {{llang|en|fuzzy sphere}})는 일반적인 [[구 (기하학)|구]]를 비가환 공간으로 일반화한 경우다. 3차원 [[각운동량 연산자]]로 생성된다.

== 정의 ==
[[스핀]]이 <math>j</math>인 [[SU(2)]] 표현 <math>J_i</math> (<math>i=1,2,3</math>)를 생각하자. 이들은 <math>(2j+1)\times(2j+1)</math> [[에르미트 행렬]]이며, 다음과 같은 관계를 만족시킨다.
:<math>[J_i,J_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}J_k</math>
여기서 <math>\epsilon_{ijk}</math>는 3차원 [[레비치비타 기호]]다.

다음과 같은 총 각운동량 연산자를 생각하자.
:<math>\mathbf J^2=J_1^2+J_2^2+J_3^2=\hbar^2j(j+1)</math>
이제 다음과 같이 좌표 <math>\mathbf x</math>를 정의하자.
:<math>x_i=\frac{J_iR}{\hbar\sqrt{j(j+1)}}</math>
그렇다면
:<math>\mathbf x^2=R^2</math>
이 되므로, <math>\mathbf x</math>를 [[반지름]]이 <math>R</math>인 [[구 (기하학)|구]]의 좌표로 생각할 수 있다. 이 비가환 공간을 '''퍼지 구'''({{llang|en|fuzzy sphere}})라고 한다. {{llang|en|fuzzy|퍼지}}는 ‘흐릿한, 보풀이 이는’을 뜻하는 형용사로, 좌표의 비가환성을 보풀에 비유한 것이다.

퍼지 구의 좌표들 <math>x_i</math>는 서로 가환하지 않는다.
:<math>[x_i,x_j]=\frac R{\sqrt{j(j+1)}}i\epsilon_{ijk} x_k</math>
다만, 각운동량이 매우 큰 고전적 극한 <math>j\to\infty</math>을 취하면, <math>[x_i,x_j]\to0</math>이 되어 가환구로 수렴하게 된다.

== 퍼지 구 위의 미적분 ==
퍼지 구 위의 함수는 <math>(2j+1)\times(2j+1)</math> [[에르미트 행렬]]이다. 이러한 함수 <math>F</math>의 [[미분]]은 다음과 같이 정의할 수 있다.
:<math>\mathbf x\times\nabla F=i\frac{\sqrt{j(j+1)}}R[\mathbf x,F]</math>
이는 <math>F=x_i</math>를 대입하면 올바른 결과를 얻는 것을 알 수 있다. 이를 사용하여 [[라플라스 연산자]]도 유사하게 정의할 수 있다.

[[적분]]은 [[대각합]]에 비례하게 다음과 같이 정의한다.
:<math>\int F=\frac{2\pi R^2}{\sqrt{j(j+1)}}\operatorname{tr}(F)</math>
이렇게 하면, [[상수함수]] <math>F=I</math> ([[단위행렬]])을 대입해 퍼지 구의 겉넓이를 구할 수 있다.
:<math>\int I=\frac{2\pi R^2}{\sqrt{j(j+1)}}\operatorname{tr}(F)=4\pi R^2\frac{j+1/2}{\sqrt{j(j+1)}}</math>
따라서 고전적 극한 <math>j\to\infty</math>를 취하면 겉넓이가 가환구의 겉넓이 <math>4\pi R^2</math>로 수렴하는 것을 알 수 있다.

== 역사 ==
존 마도어({{llang|en|John Madore}})가 1991년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=John|성=Madore|doi=10.1088/0264-9381/9/1/008|저널=Classical and Quantum Gravity|권=9|호=1|쪽=69–87|날짜=1992-01|issn=0264-9381|언어=en|제목=The fuzzy sphere}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|성=Alekseev|이름=A. Y.|공저자=A. Recknagel, V. Schomerus|날짜=1999|제목=Non-commutative worldvolume geometries: D-branes on SU(2) and fuzzy spheres|저널=Journal of High Energy Physics|권=1999|호=9|쪽=23|arxiv=hep-th/9908040|언어=en|issn=1126-6708|doi=10.1088/1126-6708/1999/09/023|bibcode=1999JHEP...09..023A}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/0106048|제목=Noncommutative field theory|doi=10.1103/RevModPhys.73.977|이름=Michael R.|성=Douglas|공저자=Nikita A. Nekrasov|bibcode=2001RvMP...73..977D|저널=Reviews of Modern Physics|권=73|호=4|쪽=977–1029|날짜=2001-11-29|언어=en|issn= 0034-6861}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/0206192|제목=Membranes and matrix models|이름=Hoppe|성=Jens|bibcode=2002hep.th....6192H|날짜=2002|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=1209.0108|제목=Metric properties of the fuzzy sphere|이름=Francesco|성=D’Andrea|공저자=Fedele Lizzi, Joseph C. Várilly|bibcode=2013LMaPh.103..183D|doi=10.1007/s11005-012-0590-5|날짜=2013-02|저널=Letters in Mathematical Physics|권=103|호=2|쪽=183–205|issn=0377-9017|언어=en|zbl=pre06137157|mr=3010459}}
* {{서적 인용|장=Examples of noncommutative manifolds: complex tori and spherical manifolds|arxiv=math/0703849|bibcode=2007math......3849P|제목=An invitation to noncommutative geometry. Lectures of the international workshop on noncommutative geometry, Tehran, Iran, 2005|출판사= World Scientific|zbl=1146.58007|날짜=2008|성=Plazas|이름=Jorge|쪽=419–445|isbn=978-981-270-616-4|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:비가환 기하학]]