퍼르커시 보조정리 문서 원본 보기

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[[수학적 최적화]]에서 '''퍼르커시 보조정리'''({{llang|en|Farkas’s lemma}})는 어떤 볼록뿔과 이에 속하지 않는 벡터 사이를 [[초평면]]으로 분리할 수 있다는 정리다.

== 정의 ==
<math>A</math>가 <math>m\times n</math> 실수 행렬이며, <math>\mathbf b\in\mathbb R^m</math>가 <math>m</math>차원 실수 벡터라고 하자. 그렇다면, 다음 두 명제 가운데 정확히 하나만이 성립한다.
* <math>A\mathbf x=\mathbf b</math>이며 <math>\mathbf x\ge 0</math>인 <math>\mathbf x\in\mathbb R^n</math>이 존재한다. 즉, <math>\mathbf b</math>는 볼록뿔
::<math>\left\{\sum_{i=1}^n\mathbf A_ix_i|x_i\ge0\right\}</math>
:에 속한다.
* <math>A^\top\mathbf y\ge0</math>이며 <math>\mathbf b^\top\mathbf y<0</math>인 <math>\mathbf y\in\mathbb R^m</math>이 존재한다. 즉, <math>(n-1)</math>차원 초평면
::<math>\operatorname{Span}\{\mathbf y\}^\perp=\left\{\mathbf z\in\mathbb R^m|\mathbf z^\top\mathbf y=0\right\}</math>
:이 존재하여, <math>\mathbf b</math>와 볼록뿔 <math>\{\sum_{i=1}^n\mathbf A_ix_i|x_i\ge0\}</math>은 이 초평면의 양쪽에 각각 존재한다.
여기서 <math>\mathbf x\in\mathbb R^m</math>이 <math>\mathbf x\ge0</math>라는 것은 <math>\mathbf x</math>의 모든 성분이 음수가 아니라는 것이다.

== 역사 ==
헝가리의 과학자 [[퍼르커시 줄러]]({{llang|hu|Farkas Gyula}})가 1894년 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | 저자 = Farkas Gyula |날짜= 1894 | title = A Fourier-féle mechanikai elv alkamazásai | journal = Mathematikai és Természettudományi Értesítő | volume = 12 | pages = 457–472|언어=hu }}</ref><ref>{{저널 인용 | first = Julius  | last = Farkas | year = 1902 | title = Theorie der einfachen Ungleichungen | url = http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0124&DMDID=dmdlog4 | journal = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik | volume = 1902 | pages = 1–27 | doi = 10.1515/crll.1902.124.1 | issue = 124|issn=0075-4102|언어=de }}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 | last=Berkovitz | first=Leonard D. | title=Convexity and Optimization in <math>\mathbb{R}^n</math> | publisher=John Wiley & Sons | location=New York | isbn=978-0-471-35281-5 | year=2001|언어=en}}
* {{저널 인용|doi=10.1007/s11202-010-0010-y|성=Kutateladze |이름=S.|제목=The Farkas lemma revisited |url=http://www.math.nsc.ru/LBRT/g2/english/ssk/preprint229.pdf|year=2010|journal=Siberian Mathematical Journal|volume=51|pages=78–87|issue=1|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=FarkassLemma|title=Farkas’s lemma}}

{{전거 통제}}

[[분류:수학적 최적화]]
[[분류:보조정리]]
[[분류:선형 계획법]]
[[분류:볼록 해석]]