팽르베 방정식 문서 원본 보기

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'''팽르베 방정식'''({{llang|en|Painlevé transcendents}})은 다음의 6개의 2차 비선형 해석적 [[상미분 방정식]]을 일컫는다.

:<math>P_{\rm I}:\frac{d^2y}{dx^2} = 6y^2+x</math>
:<math>P_{\rm II}:\frac{d^2y}{dx^2} = 2y^3+xy+\alpha</math>
:<math>P_{\rm III}:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}\left(\alpha y^2+\beta\right)+\gamma y^3+\frac{\delta}{y}</math>
:<math>P_{\rm IV}:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2y}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2+\frac{3}{2}y^3+4xy^2+2\left(x^2-\alpha\right)+\frac{\beta}{y}</math>
:<math>P_{\rm V}:\frac{d^2y}{dx^2} = \left(\frac{1}{2y}+\frac{1}{y-1}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+\frac{(y-1)^2}{x^2}\left(\alpha y+\frac{\beta}{y}\right)+c\frac{y}{x}+\delta\frac{y(y+1)}{y-1}</math>
:<math>P_{\rm VI}:\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y-1}+\frac{1}{y-x}\right)\left(\frac{dy}{dx}\right)^2-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{y-x}\right)\frac{dy}{dx}</math>
:<math>+\frac{y(y-1)(y-x)}{x^2(x-1)^2}\left[\alpha+\beta\frac{x}{y^2}+\gamma\frac{x-1}{(y-1)^2}+\delta\frac{x(x-1)}{(y-x)^2}\right]</math>
(※ ''&alpha;, &beta;, &gamma;, &delta;''는 복소 상수이며, ''P''<sub>I</sub> ~ ''P''<sub>VI</sub>는 방정식의 이름을 나타낸다.)

== 정의 ==
이하의 정리는 [[폴 팽르베]]에 의한 것이다.

:''R''(''a'', ''b'', ''c'') 을 ''a''의 [[해석함수|도함수]]를 계수로 하는, ''b'' 와 ''c''의 [[유리 함수]]라고 했을때,
::<math>\frac{d^2y}{dx^2} = R\left(x,y,\frac{dy}{dx}\right)</math>
:그것이 [[움직이는 분기점]]을 갖지 않는다면, [[선형방정식]], [[타원함수]]의 방정식, 그 외에 [[구적가능]](눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 특정 도형의 면적과 같은 면적을 가진 정사각형의 작도가 가능)한 방정식 및 팽르베 방정식 가운데 하나로 전개되게 된다.

== 외부 링크 ==
*{{springer|first=N.Kh.|last= Rozov|title=Painlevé equation}}
*{{springer|title=Painlevé-type equations|first=M. |last=Ablowitz}}
* {{매스월드|id=PainleveTranscendents|title=Painleve transcendents}}
* {{매스월드|id=PainleveProperty|title=Painleve property}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/soliton-lab/chron/painleve.html|저자=高崎 金久|제목=Painlevé equations|언어=en|확인날짜=2014년 6월 13일|보존url=https://web.archive.org/web/20080406003354/http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/soliton-lab/chron/painleve.html|보존날짜=2008년 4월 6일|url-status=dead}}

{{전거 통제}}

[[분류:상미분 방정식]]
[[분류:특수 함수]]