판아우벌 정리 문서 원본 보기

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[[파일:van_Aubel's_theorem.png|섬네일|판아우벌 정리는 [[사각형]]에도 응용할 수 있다.]]
'''판아우벌 정리'''는 [[네덜란드]] [[수학자]] [[헨리퀴스 휘베르튀스 판아우벌]](Henricus Hubertus van Aubel)의 이름이 붙은 [[정리]]이다.

== 공식화 ==
[[파일:Aubel triangle.svg|섬네일|판아우벌 정리]]

삼각형 ABC (△ABC)의 각 꼭짓점에서 삼각형 ABC 내부의 임의의 한 점 P와 만나는 세개의 직선 AP, BP, CP가 각각 선분 BC, CA, AB와 만나는 점을 <math>A_{1}</math>, <math>B_{1}</math>, <math>C_{1}</math>이라고 할 때 (<math>A_{1} \in \overline{BC}</math>, <math>B_{1} \in \overline{AC}</math>, <math>C_{1} \in \overline{AB}</math>)

다음과 같은 식이 성립하는데,

:<math>\frac{AP}{PA_{1}}=\frac{AC_{1}}{C_{1}B}+\frac{AB_{1}}{B_{1}C}</math>

이를 판아우벌 정리라고 한다.

== 증명 Ⅰ ==
<math>P_{\triangle XYZ}</math>는 삼각형 <math>XYZ</math>의 면적을 뜻한다.

삼각형 <math>ABC</math>와 삼각형 <math>PBC</math>는 동일한 선분 <math>BC</math>를 밑변으로 가지고 있으므로 높이(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서
:<math>\frac{AA_1}{PA_1}=\frac{P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle BCP}}</math>가 성립하는데

이것은
:<math>\frac{AP}{PA_{1}}=\frac{P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}</math>을 내포한다.

또 삼각형 <math>ACC_1</math>과 삼각형 <math>BCC_1</math>을 보면 두 삼각형은 동일한 선분 <math>CC_{1}</math>을 같은 높이로 가지고 있으므로 밑변(선분)의 비율은 면적의 비율과 동일하다. 따라서
:<math>\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle ACC_1}}{P_{\triangle BCC_1}}</math>가 성립한다.

위와 동일한 방법으로

:<math>\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle AC_1P}}{P_{\triangle BC_1P}}</math>을 얻을 수 있다.

따라서

:<math>\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle ACP}+P_{\triangle AC_1P}}{P_{\triangle BCP}+P_{\triangle BC_1P}}=\frac{P_{\triangle AC_1P}}{P_{\triangle BC_1P}}</math>

위 식을 정리하면,
:(i) &nbsp; <math>\frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{P_{\triangle ACP}}{P_{\triangle BCP}}</math>

이와 같은 방법으로 동일하게 구하면

:(ii) &nbsp;<math>\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}</math>

(i)식과 (ii)식을 각각 더하면
:<math>\frac{AB_1}{B_1C}+\frac{AC_1}{C_1B}=\frac{P_{\triangle APC}+P_{\triangle APB}}{P_{\triangle BCP}}=\frac{AP}{PA_1}</math>
판아우벌 정리를 증명할 수 있다.

== 증명 Ⅱ ==
판아우벌 정리는 [[메넬라오스 정리]]와 [[체바 정리]]를 이용하여 증명할 수 있다.

삼각형 <math>ABA_{1}</math>과 직선 <math>CC_{1}</math>에 대해서 메넬라오스 정리가 성립한다.

:<math>\frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BC}{CA_{1}} \cdot \frac{A_{1}P}{PA} = 1</math>

이 식을 변형하면,

:<math>\frac{PA}{A_{1}P} = \frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BC}{CA_{1}} = \frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}+CA_{1}}{CA_{1}} =  \frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot (\frac{BA_{1}}{CA_{1}} + \frac{CA_{1}}{CA_{1}}) </math>

따라서,

:(i) <math>\frac{PA}{A_{1}P} = \frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{CA_{1}} + \frac{AC_{1}}{C_{1}B} </math>

삼각형 <math>ABC</math>에서 체바 정리가 성립한다.

:<math>\frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C} \cdot \frac{CB_{1}}{B_{1}A} = 1</math>

따라서,

:(ii) <math>\frac{B_{1}A}{CB_{1}} = \frac{AC_{1}}{C_{1}B} \cdot \frac{BA_{1}}{A_{1}C}</math>

(ii)식을 (i)식에 대입하면

:<math>\frac{PA}{A_{1}P}=\frac{B_{1}A}{CB_{1}}+\frac{AC_{1}}{C_{1}B}</math>

== 증명 Ⅲ ==
{{미완성 문단}}
판아우벌 정리는 [[삼각함수]]를 이용하여 증명할 수 있다.<ref>{{웹 인용 |url=http://euclid.ucc.ie/pages/MATHENR/MathEnrichment/6.Menelaus.pdf |제목=Theorem of Ceva, Menelaus and Van Aubel |확인날짜=2010-01-24 |archive-date=2009-09-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090902122350/http://euclid.ucc.ie/pages/MATHENR/MathEnrichment/6.Menelaus.pdf }}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[다 빈치]]
* [[피카소]]

== 참고 ==
<references/>

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* [http://www.mste.uiuc.edu/dildine/geometry/vanaubel.html Van Aubel's Theorem]: an interactive JavaSketch of the figure.
* {{매스월드| id=vanAubelsTheorem | title=van Aubel's Theorem}}
* [http://demonstrations.wolfram.com/VanAubelsTheoremForQuadrilaterals/ Van Aubel's Theorem for Quadrilaterals] and [http://demonstrations.wolfram.com/VanAubelsTheoremForTriangles/ Van Aubel's Theorem for Triangles] by Jay Warendorff, [[The Wolfram Demonstrations Project]].
* [https://web.archive.org/web/20090514062232/http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/aubelparm.html Van Aubel's Theorem and some generalizations] at [https://web.archive.org/web/20090321024112/http://math.kennesaw.edu/~mdevilli/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches]

{{전거 통제}}

[[분류:사각형에 대한 정리]]