파피안 문서 원본 보기

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[[선형대수학]]에서 '''파피안'''({{llang|en|Pfaffian}})은 짝수 차원의 [[정사각행렬|정사각]] [[반대칭 행렬]]에 대하여 정의하는 [[다항식]]이다. 이러한 행렬의 [[행렬식]]은 파피안의 제곱이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math>가 주어졌으며, <math>K</math> 계수의 <math>2n\times 2n</math> 실수 반대칭 [[정사각 행렬]] <math>A \in \operatorname{Mat}(2n,2n;K)</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>A</math>의 '''파피안''' <math>\operatorname{pf}(A)</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{pf}A = \frac1{2^n n!}\sum_{\sigma\in\operatorname{Sym}(2n)}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^nA_{\sigma(2i-1),\sigma(2i)}\in K</math>
여기서
* <math>\operatorname{Sym}(2n)</math>은 <math>\{1,2,\dotsc,2n\}</math>의 [[순열]]들의 집합이다.
* <math>\operatorname{sgn}(\sigma)\in\{\pm1\}</math>는 [[순열의 부호수]]이다.
위 공식을 따르면, <math>K</math>에서 <math>n!</math>의 [[역수]]가 존재해야 하는 것처럼 보이지만, 사실 그렇지 않다. 위 합에서, 각 항이 <math>2^nn!</math>번 등장하므로, 사실 위 공식에서 나눗셈이 필요하지 않다. 구체적으로, <math>\{1,2,\dotsc,2n\}</math>의 [[집합의 분할|분할]] 가운데, 크기 2의 집합들로 구성된 것들의 집합을 <math>\pi(2n)</math>이라고 하자. 그 [[집합의 크기|크기]]는
:<math>|\pi(2n)| = \frac{(2n)!}{2^nn!}</math>
이다. <math>\pi(2n)</math>의 원소는 표준적으로
:<math>a = \{\{a(1),a(2)\},\{a(3),a(4)\},\dotsc,\{a(2n-1),a(2n)\}\}</math>
:<math>\forall k\colon a(2k) < a(2k+1)</math>
:<math>a(1) < a(3) < a(5) < \dotsb < a(2k-1)</math>
의 꼴로 적을 수 있다. 이를 순열
:<math>\{1,\dotsc,2n\}\to\{1,\dotsc,2n\}</math>
:<math>k \mapsto a(k)</math>
로 간주했을 때, 이는 포함 사상 <math>\pi(2n)\hookrightarrow\operatorname{Sym}(2n)</math>을 정의한다. 그렇다면, 파피안은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{pf}A = \sum_{a\in\pi(2n)}\operatorname{sgn}(a)A_{a(1),a(2)}A_{a(3),a(4)}\dotsm A_{a(2n-1),a(2n)}\in K</math>

=== 고윳값을 통한 정의 ===
실수 반대칭 행렬의 경우, 파피안은 [[고윳값]]으로 간단히 표현된다. <math>2n\times 2n</math> 실수 반대칭 [[정사각 행렬]] <math>A \in \operatorname{Mat}(2n,2n;\mathbb R)</math>의 [[고윳값]]이 <math>\pm i\lambda_1,\dots,\pm i\lambda_n</math>이라고 하자. 그렇다면 <math>A</math>의 '''파피안''' <math>\operatorname{pf}(A)</math>는 <math>\lambda_i</math>들의 곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.
:<math>\operatorname{pf}A=\operatorname{pf}\begin{bmatrix}
\begin{matrix} 0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} &  0 & \cdots & 0 \\
0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} &  & 0 \\
\vdots &  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_n\\ -\lambda_n & 0\end{matrix}
\end{bmatrix} = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n</math>

== 성질 ==
파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 [[다항식]]이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{pf}\begin{bmatrix}    0     & a & b & c \\ -a & 0        & d & e  \\   -b      &  -d       & 0& f    \\-c &  -e      & -f & 0 \end{bmatrix}=af-be+dc</math>.

짝수 차원 반대칭 행렬의 고윳값은 <math>\pm i\lambda_1,\dots,\pm i\lambda_n</math>의 꼴이므로, 그 [[행렬식]]은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.
:<math>\det A=\lambda_1^2\lambda_2^2\cdots\lambda_n^2=\left(\operatorname{pf}A\right)^2</math>

홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.

짝수 차원 반대칭 행렬 <math>A</math>는 다음과 같이 [[2차 미분 형식]] <math>\omega</math>로 나타낼 수 있다.
:<math>\omega=\frac12\sum_{i=1}^{2n}\sum_{j=1}^{2n}A_{ij}dx^i\wedge dx^j</math>.
그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.
:<math>\omega^n/n!=\operatorname{pf}(A)\,dx^1\wedge\cdots\wedge dx^{2n}</math>

== 역사 ==
파피안의 개념은 [[아서 케일리]]가 1852년의 한 논문에서 도입하였으며,<ref name="Cayley">{{저널 인용 | last1=Cayley | first1=Arthur | 저자링크=아서 케일리 | title=On the theory of permutants | url=https://archive.org/stream/collectedmathema02cayluoft#page/16/mode/2up | year=1852 | journal=Cambridge and Dublin Mathematical Journal  | volume=7 | pages=40–51 | 언어=en}}</ref> [[요한 프리드리히 파프]]의 이름을 땄다. 이 논문에서 케일리는 다음과 같이 적었다.
{{인용문2|
[[요한 프리드리히 파프|파프]]의 [[미분 방정식]]에 대한 연구와 연관이 있으므로, 이런 유의 순열식(順列式)은 “파피안”이라고 부르도록 하겠다.<br>
{{lang|en|[…] the permutants of this class (from their connexion with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term “Pfaffians.”}}
|<ref name="Cayley"/>
|}}

== 같이 보기 ==
* [[행렬식]]
* [[폴리오미노]]
* [[통계역학]]
== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Pfaffian}}
* {{nlab|id=Pfaffian}}

[[분류:행렬식]]
[[분류:다중선형대수학]]