파이겐바움 상수 문서 원본 보기

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'''파이겐바움 상수'''(Feigenbaum constant)는 [[로지스틱 사상|로지스틱 맵]]에서와 같은 [[분기 다이어그램]]에서 나오는 두개의 [[수학 상수]]를 말한다.

첫 번째 상수{{OEIS|id=A006890}},

: <math>\delta = \lim_{n \to \infty}^{}{{a_{n-1} - a_{n-2}}\over{a_{n} - a_{n-1}}}= 4.66920160910299067185320382... </math>
: <math>a</math>는 분기 매개변수

:<math>\delta </math>는 분기가 일어나는 간격의 비의 수렴값으로 정의된다. 본래는 [[로지스틱 사상|로지스틱 맵]]에서 주기가 두배로 늘어나는 분기([[주기배가 분기]])의 간격의 비로서 발견되었지만, 일반적인 [[혼돈 이론|혼돈계]]가 같은 비로 [[주기배가 분기]]가 일어난다는 것이 증명되었다.


두 번째 상수{{OEIS|id=A006891}} 인 추가상수 <math>\alpha</math> 는

: <math>\alpha = 2.502907875095892822283902873218...</math>
는 뽀족한 살과 작은 살의 비로서 정의된다.

[[파이겐바움 함수]] <math> g(x) = \frac{1}{-\alpha} g( g(\alpha x ) ) </math>에서,

<math>x = 0</math>에 가까운 해의 2 차 의존성을 갖는 특정 형태의 해에 대해,
:<math>{{1}\over { \alpha}}</math> 의 역원 <math>\alpha= 2.502907875095892822283902873218... </math>는 추가상수 <math>\alpha</math>이다.



파이겐바움 상수들은 [[혼돈 이론|카오스 이론]]의 선구자 중 한사람으로 수리물리학자 [[미첼 파이겐바움]]이 발견하였다.

== 분기 다이어그램의 구간 ==

: <math>\delta = \lim_{n \to \infty}^{}{{L_{n+1} - L_n}\over{L_{n+2} - L_{n+1}}}= 4.66920160910299067185320382... </math>
: <math>L</math>은 분기 구간

<table>
<tr>
<td>
[[파일:LogisticMap terms001.png|500px]]
</td>
</tr>
<tr>
<td>
한편, Feigenbaum 상수 <math>\delta </math>는 <math>{{L_n}\over{L_{n + 1}}}</math>에 대한 연속적인 분기 다이어그램 사이의 거리 비의 한계를 나타낸다.
</td>
</tr>
</table>

아래는 위 분기다이어그램으로부터 얻어지는 파이겐바움 상수의 대략적인 과정이다.
(첫 번째 분기점을 수렴값이 처음으로 0에서 벗어나는 <math>a=1</math>으로 하면 <math>L_0 = 2</math>이다.)
:{| class="wikitable"
|-
! {{math|''n''}}
! Period
! <math>L_n</math>
! <math>{{L_n}\over{L_{n + 1}}}</math>
|-
| 0
|| 1
|| 2
|| —
|-
| 1
|| 2
|| 0.45
|| 4.444444...
|-
| 2
|| 4
|| 0.09
|| 5
|-
| 3
|| 8
|| 0.02
|| 4.5
|-
| <math>\vdots</math>
||
||
|| <math>\vdots</math>
|-
| <math>\infty</math>
||
||
|| 4.669201....
|-
|}

== 비 선형 맵의 예 ==
파이겐바움 상수를 보여주는 비선형맵(Non-linear map)들의 예 ,
:<math>f(x)=a-x^2</math> 또는 <math> f(x) = a x (1 - x) </math> 그리고 [[프랙탈]]<math> f(x) = x^2 + b </math> 등 중에서
다음은 이들 중 하나에 대한 표현이다.
<table>
<tr>
<td>
[[파일:LogisticMap processing js001.png|300px]]
</td>
</tr>
<tr>
<td>
[[processing.js]]를 사용한 <math>f(x)=a-x^2</math>의  [[로지스틱 사상|로지스틱 맵]]
</td>
</tr>
</table>

== 같이 보기 ==
* [[파이겐바움 함수]]
* [[텐트 맵]]
* [[로지스틱 사상|로지스틱 맵]]

== 참고 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html 매스월드]

{{수학 상수}}

[[분류:수학 상수]]
[[분류:분기 이론]]
[[분류:혼돈 이론]]