파울리-루반스키 벡터 문서 원본 보기

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'''파울리-루반스키 벡터'''({{llang|fr|vecteur de Pauli-Lubański}})는 [[사차원 운동량|운동량]] [[4차원 벡터]]와 [[각운동량]] 4차원 텐서의 "4차원 [[벡터곱]]"인 [[유사벡터]]다. 대개 <math>W^\mu</math>로 나타낸다. 그 제곱 <math>W^2</math>은 각운동량의 노름으로서, 질량 <math>P^2</math>과 함께 [[푸앵카레 대칭성|푸앵카레 군]]의 두 카시미르 불변량을 이룬다. [[폴란드]]의 유제프 루반스키 ({{llang|pl|Józef Kazimierz Lubański}})가 1942년에 도입하였다.

== 정의 ==
다음과 같이 정의한다. (여기서 <math>\epsilon</math>은 [[레비치비타 기호|레비치비타 유사텐서]]고, <math>J^{\mu\nu}</math>는 각운동량, <math>P</math>는 운동량이다.)
:<math>W_{\mu}=\frac{1}{2}\epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} J^{\nu \rho} P^{\sigma}</math>

파울리-루반스키 벡터는 운동량과 가환하지만, 각운동량과는 그렇지 않다. 교환관계는 다음과 같다.
:<math>[P^{\mu},W^{\nu}]=0</math>
:<math>[J^{\mu \nu},W^{\rho}]=i ( g^{\rho \nu} W^{\mu} - g^{\rho \mu} W^{\nu})</math>

또한 항상 운동량과 4차원 직교한다.
:<math>P\cdot W=0</math>

그 제곱 <math>W^2</math>은 [[카시미르 불변량]]을 이룬다. 즉 다른 모든 연산자와 가환한다.
:<math>[P,W^2]=0</math>
:<math>[J,W^2]=0</math>
그 값은 각운동량의 제곱이다. 즉 각운동량 <math>\vec J</math>을 생각하면
:<math>W^2=-m^2(\vec J\cdot\vec J)</math>
여기서 <math>m</math>은 질량이다.

== 양자화 ==
유질량장의 경우 <math>W^2</math>는 입자의 총 [[스핀]]을 나타낸다. 그 [[고윳값]]은 다음과 같다.
:<math>W^2=W_{\mu}W^{\mu}=m^2 s(s+1)</math>
여기서 <math>s</math>는 스핀이다.

무질량장의 경우 <math>W^2=0</math>이고, <math>W^0=-\vec J\cdot\vec P</math>는 [[나선도]]를 나타낸다.

== 같이 보기 ==
* [[위그너 분류]]
* [[각운동량 연산자]]
* [[유사벡터]]
* [[유도 표현]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|이름=J. K.|성=Lubański|저널=Physica|권=9|쪽=310|doi=10.1016/S0031-8914(42)90113-7}}
* {{저널 인용|이름=J. K.|성=Lubański|저널=Physica|권=9|쪽=325|doi=10.1016/S0031-8914(42)90114-9}}

[[분류:특수 상대성이론]]
[[분류:양자장론]]