파스칼 행렬 문서 원본 보기

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수학, 특히 [[행렬론]]과 [[조합론]]에서 '''파스칼 행렬'''(Pascal matrix)은 [[이항 계수]]를 요소로 포함하는 무한 [[행렬]]이다. 이를 표현하는 방법에는 [[상삼각 행렬]], [[하삼각 행렬]], 그리고 [[대칭 행렬]]이 있다. 아래는 이들의  5 × 5 행렬 예이다.


상삼각 행렬: <math>
U_5=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3 & 6 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\,\,\,</math><!-- PLEASE do not remove the \,\,\, - it is there to force a higher quality anti-aliasing mode in the wikitex renderer -->
&nbsp;하삼각 행렬: <math>
L_5=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 3 & 1 & 0 \\
1 & 4 & 6 & 4 & 1
\end{pmatrix}\,\,\,</math><!-- PLEASE do not remove the \,\,\, - it is there to force a higher quality anti-aliasing mode in the wikitex renderer -->
대칭행렬: <math>S_5=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
1 & 3 & 6 & 10 & 15 \\
1 & 4 & 10 & 20 & 35 \\
1 & 5 & 15 & 35 & 70
\end{pmatrix}</math>

이 행렬들의 관계는 S<small>n</small> = L<small>n</small> U<small>n</small> 을 갖는다. 이것으로부터 3개의 행렬 모두가 L<small>n</small> 과 U<small>n</small>를위한 [[삼각 행렬]]의 행렬식인 행렬식 한 개를 갖는 것을 확인할 수 있다. 즉, 행렬 S<sub>n</sub> , L<sub>n</sub> 및 U<sub>n</sub> 은 [[유니모듈러 행렬]]이며, L<sub>n</sub> 및 U<sub>n</sub> 은 [[대각합|트레이스]] n을 가진다.

대칭 파스칼 행렬의 원소는 [[이항 계수]], 즉
:<math>S_{ij} = {n \choose r} = \frac{n!}{r!(n-r)!},\;\;n=i+j,\quad r=i</math>
또한
:<math>S_{ij} = { }_{i+j}\mathbf{C}_{i} = \frac{(i+j)!}{(i)!(j)!}</math>
따라서 S<sub>n</sub> 의 흔적은 다음과 같이 주어진다.

:<math>\text{tr}(S_n) = \sum^n_{i=1} \frac{ [ 2(i-1) ] !}{[(i-1)!]^2} = \sum^{n-1}_{k=0} \frac{ (2k) !}{(k!)^2}</math>

파스칼 행렬에 의해 주어진 처음 몇 개의 항들의 시퀀스는 1, 3, 9, 29, 99, 351, 1275, ... ( OEIS의 시퀀스 A006134)이다.


== 같이 보기 ==
* [[라 수]] (Lah number)
* [[스털링 수]]

==참고==
* (OEIS)A006134
* [https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Unimodular_matrix EOM]

[[분류:행렬]]