파르스발 항등식 문서 원본 보기

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[[함수해석학]]에서, '''파르스발 항등식'''(Parseval恒等式)은 [[푸리에 급수]]의 [[수렴|수렴성]]에 관한 중요한 결과이다. 수학자 [[마르크앙투안 파르스발]]의 이름을 땄다. [[기하학]]적 관점에서 파르스발 항등식은 [[내적 공간]]에서의 [[피타고라스 정리]]로 볼 수 있다.

<math>H</math>가 [[힐베르트 공간]]이라 하고, <math>B = \{ e_1, e_2, ...\}</math>가 <math>H</math>의 [[정규 직교 기저]]라 하자. 그러면 임의의 <math>x \in H</math>에 대해 다음이 성립한다.

:<math>\sum_{e \in B}\left\vert\left\langle x,e\right\rangle \right\vert^2 = \left\Vert x\right\Vert^2.</math>

[[피타고라스 정리]]에 따르면 벡터의 길이의 제곱은 [[내적 공간#정규 직교 기저|정규 직교 기저]]로 나타낸 성분들의 제곱의 합과 같은데, 파르스발 항등식은 이를 일반화한 것이라 할 수 있다.

보다 일반적으로, 파르스발 항등식은 <math>H</math>가 [[내적 공간]]이고 <math>B</math>의 [[선형생성]]이 <math>H</math>에서 [[조밀 집합|조밀]]한 경우에도 성립한다. <math>B</math>가 조밀하지 않은 경우 등호가 성립하지 않을 수도 있으며, 대신에 등호를 부등호 ≤로 바꾼 [[베셀 부등식]]이 성립한다.

== 푸리에 급수 ==
구체적인 예로, 힐베르트 공간 <math>L^2([-\pi, \pi])</math>와 정규 직교 기저 <math>\{e^{inx} : n \in \mathbb{Z}\}</math>를 생각해 보자. 함수 <math>f \in L^2([-\pi, \pi])</math>의 푸리에 계수를

:<math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} \, dx</math>

라 하면, 파르스발 항등식에 의해 다음이 성립한다.

:<math>\Vert f \Vert^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx = \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2</math>

== 외부 링크 ==
* {{언어링크|en}} {{springer|title=Parseval equality}}
* {{언어링크|en}} [http://mathworld.wolfram.com/ParsevalsTheorem.html Parseval's Theorem] 파르스발 항등식에 대한 [[매스월드]] 문서.

[[분류:푸리에 해석학]]
[[분류:함수해석학]]
[[분류:힐베르트 공간]]
[[분류:푸리에 급수]]