파데 근사 문서 원본 보기

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[[해석학 (수학)|해석학]]에서, '''파데 근사'''(Padé近似, {{llang|en|Padé approximant}})는 어떤 함수를 [[유리 함수]]로 근사하는 방법이다. [[테일러 급수]]의 일반화이다.

== 정의 ==
[[매끄러운 함수]] <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math> 및 음이 아닌 정수 <math>m,n\in\mathbb N</math>이 주어졌다고 하자. <math>f</math>의 '''<math>(m,n)</math>차 파데 근사''' <math>[m/n]_f</math>는 다음과 같은 꼴의 [[유리 함수]]이다.
:<math>[m/n]_f(x)=\frac{\sum_{j=0}^ma_jx^j}{1+\sum_{i=1}^nb_ix^i}</math>
이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.
:<math>f^{(k)}(0)=[m/n]_f^{(k)}(0)\qquad\forall k\in\{0,\dots,m+n\}</math>
즉, <math>(m,n)</math>차 파데 근사는 <math>m+n</math>차 도함수까지 원래 함수와 일치한다.

주어진 <math>(m,n)</math>에 대하여, 파데 근사는 (만약 존재한다면) 유일하다. <math>n=0</math>이라면, 파데 근사는 [[매클로린 급수]]가 된다. 마찬가지로, <math>m=0</math>이며 <math>f(0)\ne0</math>이라면 <math>f</math> 파데 근사는 <math>1/f</math>의 매클로린 급수의 역수이다.

== 계산 ==
매끄러운 함수 <math>f</math>의 파데 근사를 계산한다고 하자. <math>f(x)</math>의 <math>m+n</math>차 매클로린 급수를 <math>T(x)\in\mathbb R[x]</math>라고 하자.
:<math>f(x)=T(x)+\mathcal O(x^{m+n+1})</math>
만약
:<math>[m/n]_f(x)=\frac{p(x)}{1+xq(x)}</math>
라면, 이는
:<math>p(x)=T(x)(1+xq(x))\pmod{x^{m+n+1}}</math>
과 [[동치]]이다. 이는 양변을 전개하여, <math>m+n</math>개의 변수에 대한 <math>m+n</math>개의 연립 1차 방정식으로 놓을 수 있으므로, 쉽게 풀 수 있다.

== 예 ==
지수 함수 <math>x\mapsto\exp x</math>의 파데 근사들은 다음과 같다.

{| class = "wikitable" style="text-align: center;"
|-
! <sub>''m''</sub> \ <sup>''n''</sup> !! 0 !! 1 !! 2 !! 3
|-
! 0
| <math>\frac{1}{1}</math>
||<math>\frac{1}{1 - z}</math>
||<math>\frac{1}{1 - z + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z^2}</math>
||<math>\frac{1}{1 - z + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z^2 - {\scriptstyle\frac{1}{6}}z^3}</math>
|-
! 1
| <math>\frac{1 + z}{1}</math>
||<math>\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z}{1 - {\scriptstyle\frac{1}{2}}z}</math>
||<math>\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{3}}z}
{1 - {\scriptstyle\frac{2}{3}}z + {\scriptstyle\frac{1}{6}}z^2}</math>
||<math>\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{4}}z}
{1 - {\scriptstyle\frac{3}{4}}z + {\scriptstyle\frac{1}{4}}z^2 - {\scriptstyle\frac{1}{24}}z^3}</math>
|-
! 2
| <math>\frac{1 + z + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z^2}{1}</math>
||<math>\frac{1 + {\scriptstyle\frac{2}{3}}z + {\scriptstyle\frac{1}{6}}z^2}
{1 - {\scriptstyle\frac{1}{3}}z}</math>
||<math>\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z + {\scriptstyle\frac{1}{12}}z^2}
{1 - {\scriptstyle\frac{1}{2}}z + {\scriptstyle\frac{1}{12}}z^2}</math>
||<math>\frac{1 + {\scriptstyle\frac{2}{5}}z + {\scriptstyle\frac{1}{20}}z^2}
{1 - {\scriptstyle\frac{3}{5}}z + {\scriptstyle\frac{3}{20}}z^2 - {\scriptstyle\frac{1}{60}}z^3}</math>
|-
! 3
| <math>\frac{1 + z + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{6}}z^3}{1}</math>
||<math>\frac{1 + {\scriptstyle\frac{3}{4}}z + {\scriptstyle\frac{1}{4}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{24}}z^3}
{1 - {\scriptstyle\frac{1}{4}}z}</math>
||<math>\frac{1 + {\scriptstyle\frac{3}{5}}z + {\scriptstyle\frac{3}{20}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{60}}z^3}
{1 - {\scriptstyle\frac{2}{5}}z + {\scriptstyle\frac{1}{20}}z^2}</math>
||<math>\frac{1 + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z + {\scriptstyle\frac{1}{10}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{120}}z^3}
{1 - {\scriptstyle\frac{1}{2}}z + {\scriptstyle\frac{1}{10}}z^2 - {\scriptstyle\frac{1}{120}}z^3}</math>
|-
! 4
| <math>\frac{1 + z + {\scriptstyle\frac{1}{2}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{6}}z^3+ {\scriptstyle\frac{1}{24}}z^4}{1}</math>
||<math>\frac{1 + {\scriptstyle\frac{4}{5}}z + {\scriptstyle\frac{3}{10}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{15}}z^3+ {\scriptstyle\frac{1}{120}}z^4}
{1 - {\scriptstyle\frac{1}{5}}z}</math>
||<math>\frac{1 + {\scriptstyle\frac{2}{3}}z + {\scriptstyle\frac{1}{5}}z^2 + {\scriptstyle\frac{1}{30}}z^3+ {\scriptstyle\frac{1}{360}}z^4}
{1 - {\scriptstyle\frac{1}{3}}z + {\scriptstyle\frac{1}{30}}z^2}</math>
||<math>\frac{1 + {\scriptstyle\frac{4}{7}}z + {\scriptstyle\frac{1}{7}}z^2 + {\scriptstyle\frac{2}{105}}z^3+ {\scriptstyle\frac{1}{840}}z^4}
{1 - {\scriptstyle\frac{3}{7}}z + {\scriptstyle\frac{1}{14}}z^2 - {\scriptstyle\frac{1}{210}}z^3}</math>
|}
일반적으로, <math>\exp(x)</math>의 <math>(m,n)</math>차 파데 근사는
:<math>R_{m,n}(x)=\frac{{}_1F_1(-m;-m-n;x)}{{}_1F_1(-n;-m-n;-x)}</math>
이다. 여기서 <math>{}_1F_1</math>은 [[초기하 함수]]의 하나이다.

== 역사 ==
[[프랑스]]의 수학자 앙리 외젠 파데({{llang|fr|Henri Eugène Padé}}, 1863~1953)가 박사 학위 논문에서 도입하였다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Baker|이름=George A., Jr.|공저자=P. Graves-Morris|제목=Padé Approximants|출판사=Cambridge University Press|날짜= 1996|언어=en}}
* {{저널 인용|성=Baker|이름=George A., Jr.|제목=Padé approximant|저널=Scholarpedia|doi=10.4249/scholarpedia.9756|권=7|호=6|쪽=9756|issn=1941-6016|언어=en}}
* {{서적 인용|성=Brezinski|이름= C.|공저자=M. Redivo Zaglia|제목=Extrapolation Methods. Theory and Practice|출판사=North-Holland|날짜=1991|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=math/0609094|제목=Padé and Hermite–Padé approximation and orthogonality|url=http://www.math.technion.ac.il/sat/papers/6/|이름=Walter|성=Van Assche|저널=[http://www.math.technion.ac.il/sat/ Surveys in Approximation Theory]|권=2|날짜=2006|쪽=61-91|bibcode=2006math......9094V|언어=en}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류}}
* {{eom|title=Padé approximation}}
* {{매스월드|id=PadeApproximant|title=Padé approximant}}

{{전거 통제}}

[[분류:수치해석학]]
[[분류:연분수]]