파데예프-포포프 유령 문서 원본 보기

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{{양자장론}}
[[양자장론]]에서 '''파데예프-포포프 유령'''({{lang|en|Faddeev–Popov ghost}})은 [[게이지 이론]]의 [[경로 적분]]을 정의할 때 발생하는 가상의 입자들이다. 이들은 실재하지 않으나, [[파인먼 도형]]들을 계산할 때 필요하다.

== 전개 ==
[[게이지 장]] <math>A</math>를 가지고, 게이지 변환들의 군 <math>G</math>를 가진 [[게이지 이론]]의 [[경로 적분]]을 생각하자.
:<math>Z=\frac1{\operatorname{vol}(G)}\int DA\,\exp(iS[A])</math>.
게이지 군의 부피 <math>\operatorname{vol}(G)</math>는 다루기 불편하므로, 대신 게이지 조건({{lang|en|gauge condition}})을 가한다. <math>F(A)</math>가 게이지 조건이라고 하자. 그렇다면 이에 대한 [[디랙 델타 함수|디랙 델타]]와, 이에 대한 [[야코비안]] <math>\det(\delta G(\alpha(A))/\delta\alpha)</math>을 [[경로 적분]]에 삽입한다.
:<math>Z=\frac1{\operatorname{vol}(G)}\int DA\,\exp(iS[A])\int_Gd\alpha\,\delta(F(A))\det(\delta F(\alpha(A))/\delta\alpha)</math>.
게이지 이론의 경우, 그 [[측도]] <math>DA</math>는 게이지 변환에 대하여 [[야코비안]]이 발생하지 않는다. (그렇지 않을 경우는 [[변칙 (물리학)|변칙]]이라고 하고, 이 경우 게이지 이론은 존재할 수 없다.) 또한, 그 [[작용 (물리학)|작용]] <math>S[A]</math>도 게이지 불변이다. 또한, 야코비안 <math>\det(\delta F(\alpha(A))/\delta\alpha)</math>는 대개 <math>\alpha</math>에 의존하지 않는다. 따라서 <math>A\mapsto\alpha^{-1}(A)</math>로 변수를 바꾸자.
:<math>Z=\frac1{\operatorname{vol}(G)}\int DA\,\exp(iS[A])\int_Gd\alpha\,\delta(F(A))\det(\delta F(\alpha(A))/\delta\alpha)</math>
::<math>=\int DA\,\exp(iS[A])\,\delta(F(A))\det(\delta F(\alpha(A))/\delta\alpha)</math>.

따라서, 작용에
:<math>S'=-i\log\delta(F(A))-i\log\det\frac{\delta(F(\alpha(A)))}{\delta\alpha}</math>
두 개의 항이 더해진다. 첫 번째 항은 게이지 고정항({{lang|en|gauge-fixing term}})이다. 두 번째 항은 [[함수 행렬식]]이다. 이는 게이지 군이 [[아벨 군]]일 경우 상수이며, 게이지 군이 아벨 군이 아닐 경우는 [[반가환수|반가환]] 스칼라장에 대한 [[경로 적분]]으로 나타낼 수 있다. 이 장을 '''파데예프-포포프 유령'''이라고 한다.

[[양-밀스 이론]]의 경우 게이지 조건을
:<math>F(A)=\partial\cdot A</math>
라고 하자. 게이지 변환은
:<math>\alpha(A)=A+\partial\alpha-i[A,\alpha]</math>
이므로,
:<math>\det\frac{\delta F(\alpha(A))}{\delta\alpha}
=\det(\partial^2-i\partial\cdot[A,\cdot])</math>
이다. 이 경우 [[반가환수|반가환]] [[딸림표현]] 복소 스칼라장 <math>c</math>를 도입하여, [[함수 행렬식]]을
:<math>\det(\partial^2-i\partial\cdot[A,\cdot])
=\int Dc\,D\bar c\,\exp(i\int d^4x\,\bar c(\partial^2c-i\partial\cdot[A,c]))</math>
로 쓸 수 있다. 따라서 작용에 다음과 같은 유령항
:<math>S_\text{ghost}=\int d^4x\,\bar c(\partial^2c-i\partial\cdot[A,c])</math>
이 더해진다.

== 역사 ==
[[류드비크 파데예프]]와 빅토르 니콜라예비치 포포프({{llang|ru|Ви́ктор Никола́евич Попо́в}})가 1967년 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=L.D.|성=Faddeev|authorlink=류드비크 파데예프|공저자=V.N. Popov|제목=Feynman Diagrams for the Yang-Mills Field|doi=10.1016/0370-2693(67)90067-6|저널=Physics Letters B|권=25|호=1|날짜=1967-07-24|쪽=29–30}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|제목=Faddeev-Popov ghosts|이름=Ludwig Dmitrievich|성=Faddeev|연도=2009|저널=Scholarpedia|권=4|호=4|쪽=7389|doi=10.4249/scholarpedia.7389}}
* {{저널 인용|이름=Carlo|성=Becchi|제목=Introduction to gauge theories|arxiv=hep-ph/9705211|연도=1997}}
* {{서적 인용|장=Lectures on quantization of gauge systems|이름=Nicolai|성=Reshetikhin|arxiv=1008.1411|연도=2010|doi=10.1007/978-3-642-11897-5_3|제목=New Paths Towards Quantum Gravity|isbn=978-3-642-11896-8|기타=Lecture Notes in Physics 807|쪽=125–190|출판사=Springer|위치=Berlin, Heidelberg}}

{{전거 통제}}

[[분류:양자장론]]
[[분류:양자색역학]]