특이점 (대수기하학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Cusp.svg|섬네일|오른쪽|평면 [[대수 곡선]] <math>y^2=x^3</math>은 원점에 특이점을 갖는다.]]
[[대수기하학]]에서 '''특이점'''(特異點, {{llang|en|singular point}})은 [[대수다양체]]를 정의하는 다항식들의 [[야코비 행렬]]의 계수가 다른 곳보다 더 작은 점이다.

== 정의 ==
[[스킴 (수학)|스킴]] <math>(X,\mathcal O_X)</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''정칙 스킴'''({{llang|en|regular scheme}})이라고 한다.
* 임의의 (닫힌 점이 아닐 수 있는) 점 <math>x\in X</math>에 대하여, [[줄기 (수학)|줄기]] [[국소환]] <math>\mathcal O_{X,x}</math>가 [[정칙 국소환]]이다.
마찬가지로, [[스킴 (수학)|스킴]] <math>X</math>의 '''특이점'''은 <math>\mathcal O_{X,x}</math>가 [[정칙 국소환]]이 아니게 되는 점 <math>x\in X</math>이다.

[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 [[대수다양체]] <math>X\to\operatorname{Spec}K</math>에 대하여, 만약 <math>X</math>가 정칙 스킴이라면, <math>X</math>를 '''비특이 대수다양체'''({{llang|en|nonsingular variety}})라고 한다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|32}}

== 성질 ==
[[아핀 대수다양체]] <math>X=\operatorname{Spec}K[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak a</math> 및 점 <math>x\in X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>x</math>는 <math>X</math>의 특이점이 아니다.
* <math>\mathfrak a</math>가 <math>(f_1,\dots,f_k)</math>으로 생성된다면, <math>k\times n</math> [[행렬]] <math>(\partial f_i/\partial x_j)(x)</math>의 [[계수 (선형대수학)|계수]]는 <math>n-\dim X</math>이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|31}}

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[축소 스킴]] ⊋ [[정규 스킴]] ⊋ 정칙 스킴 ⊋ [[체 (수학)|체]] 위의 [[매끄러운 스킴]]
즉, 모든 정칙 스킴은 [[정규 스킴]]이며, 임의의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여 모든 [[매끄러운 스킴|매끄러운 <math>K</math>-스킴]]은 정칙 스킴이다. 특히, [[완전체]] <math>K</math> 위의 <math>K</math>-스킴 <math>X</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>X\to\operatorname{Spec}K</math>는 매끄러운 사상이다.
* 정칙 스킴이며, <math>X\to\operatorname{Spec}K</math>는 [[국소 유한형 사상]]이다.

== 예 ==
임의의 [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 및 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, [[아핀 공간]] <math>\mathbb A^n_K=\operatorname{Spec}K[x_1,\dotsc,x_n]</math> 및 [[사영 공간]] <math>\mathbb P^n_K=\operatorname{Proj}K[x_1,\dotsc,x_n]</math>은 각각 비특이 <math>K</math>-[[대수다양체]]를 이룬다.

[[체의 표수|표수]]가 0인 [[대수적으로 닫힌 체]]에서의 복소 평면 [[대수 곡선]]
:<math>\{(x,y)\colon y^2 - x^2(x + 1) = 0\}\subset\mathbb A^2</math>
을 생각하자. 이 경우, 1×2 [[야코비 행렬]]은
:<math>(-(3x+2)x,2y)</math>
이며, 그 계수는 <math>(x,y)\in\{(0,0),(-2/3,0)\}</math>이면 0, 아니면 1이다. 이 두 점 가운데 <math>(0,0)</math>은 곡선 위에 있으므로, 이는 대수 곡선의 특이점이다.

== 같이 보기 ==
* [[매끄러운 스킴]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
{{위키공용분류|Curve singularity}}
* {{eom|title=Singular point}}
* {{eom|title=Regular scheme}}
* {{매스월드|id=SingularPoint|title=Singular point}}
* {{nlab|id=singular point of an algebraic variety|title=Singular point of an algebraic variety}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:특이점 이론]]