특수 켈러 다양체 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]과 [[이론물리학]]에서 '''특수 켈러 다양체'''({{llang|en|special Kähler manifold}})와 '''경직 특수 켈러 다양체'''({{llang|en|rigid special Kähler manifold}})는 특별한 추가 구조를 갖는 [[켈러 다양체]]이다.

== 정의 ==
=== 경직 특수 켈러 다양체 ===
'''경직 특수 켈러 다양체''' <math>M</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 복소수 <math>n</math>차원 [[켈러 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 <math>2n</math>차원 [[복소수]] [[아핀 공간]] 다발 <math>E</math>. 또한,
**이 아핀 다발은 각 올에 다음과 같은 꼴의 심플렉틱 내적을 갖는다.
**:<math>\langle u,v\rangle = u^\top\begin{pmatrix}
0&1_{n\times n}\\
-1_{n\times n}&0
\end{pmatrix}v</math>
**이 아핀 다발의 전이 함수는 (적절한 [[열린 덮개]]의 두 원소 <math>U,V</math>에 대하여) 다음과 같은 꼴이다.
** <math>v \mapsto \exp(\mathrm ic)Mv + B \qquad (c\in\mathbb R,:\;M\in \operatorname{Sp}(2n;\mathbb R),\;B\in\mathbb C^{2n})
* <math>E</math>의 정칙 단면 <math>V</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>\langle\partial_i,\partial_j V\rangle = 0</math>
* <math>M</math>의 켈러 형식은 다음과 같아야 한다.
*:<math>K = -\frac1{2\pi}\partial\bar\partial \langle V,\bar V\rangle \in \Omega^{1,1}(M)</math>

=== 특수 켈러 다양체 ===
'''경직 특수 켈러 다양체''' <math>M</math>은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 복소수 <math>n</math>차원 [[켈러 다양체]] <math>M</math>. 또한, 그 켈러 형식 <math>K\in\Omega^{1,1}(M)</math>의 [[돌보 코호몰로지]]류는 정수 계수 코호몰로지 <math>[K]\in\operatorname H^2(M;\mathbb Z)/\operatorname{Tors}(\operatorname H^2(M;\mathbb Z))</math>에 속한다. 이를 [[천 특성류]]로 갖는 정칙 선다발을 <math>L</math>이라고 하자.
* <math>M</math> 위의 <math>2(n+1)</math>차원 복소수 벡터 다발 <math>E</math>. 또한, 
**이 벡터 다발은 각 올에 다음과 같은 꼴의 심플렉틱 내적을 갖는다.
**:<math>\langle u,v\rangle = u^\top\begin{pmatrix}
0&1_{n\times n}\\
-1_{n\times n}&0
\end{pmatrix}v</math>
**이 벡터 다발의 전이 함수는 (적절한 [[열린 덮개]]의 두 원소 <math>U,V</math>에 대하여) 다음과 같은 꼴이다.
** <math>v \mapsto \exp(\mathrm if)Mv \qquad (f\colon U\cap V\to\mathbb C,\;\bar\partial f=0,\;M\in \operatorname{Sp}(2n;\mathbb R))</math>
* <math>L\otimes E</math>의 정칙 단면 <math>v</math>. 이는 다음 조건을 만족시킨다.
** <math>\langle v,\partial_iv\rangle = 0</math>
** <math>K = -\frac{\mathrm i}{2\pi}\partial\bar\partial\ln(\mathrm i\langle\bar v,v\rangle)\in\Omega^{1,1}(M)</math>

== 응용 ==
경직 특수 켈러 다양체는 중력을 포함하지 않는 4차원 <Math>\mathcal N=2</math> [[초대칭]] 이론의 [[모듈러스 (물리학)|모듈러스 공간]]으로 등장한다. 마찬가지로, 특수 켈러 다양체는 4차원 <Math>\mathcal N=2</math> [[초중력]] 이론의 [[모듈러스 (물리학)|모듈러스 공간]]으로 등장한다.

== 참고 문헌 ==
*{{저널 인용|날짜=1997|제목=What is special Kähler geometry? | arxiv=hep-th/9703082|이름1=Ben|성1=Craps|이름2=Frederik|성2=Roose|이름3=Walter|성3=Troost|이름4=Antoine|성4=Van Proeyen|언어=en}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:끈 이론]]
[[분류:초대칭]]