특수 유니터리 군 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''특수 유니터리 군'''(特殊unitary群, {{llang|en|special unitary group}})은 [[행렬식]]이 1인 [[유니터리 행렬]]의 [[리 군]]이다. 기호는 SU(n). [[유니터리 군]]의 [[부분군]]이다.

== 정의 ==
체 <math>K</math>가 [[자기 동형]]
:<math>\bar{\quad}\colon K\to K</math>
를 가진다고 하자. <math>K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]] <math>V</math>와, <math>V</math> 위의 비퇴화 [[반쌍선형 형식]]
:<math>Q\colon V\times V\to K</math>
:<math>Q(au+bv,w)=\bar aQ(u,w)+\bar bQ(v,w)</math>
:<math>Q(w,au+bv)=aQ(w,a)+bQ(w,b)</math>
가 주어졌을 때, '''특수 유니터리 군''' <math>\operatorname{SU}(V,Q)</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[특수선형군]]의 원소들의 군이다.
:<math>\operatorname{SU}(V,Q)=\{M\in\operatorname{SL}(V)\colon Q(Mu,Mv)=Q(u,v)\forall u,v\in V\}</math>

특히, 만약 <math>V</math>가 <math>n</math>차원 벡터 공간이며, <math>Q</math>가 자명한 항등 이차 형식
:<math>Q(u,v)=\sum_{i=1}^n\bar uv</math>
일 경우, 이를 <math>\operatorname{SU}(n;K)</math>라고 쓴다. 만약 <math>K</math>를 생략하는 경우, <math>K=\mathbb C</math>를 뜻한다.

또한, 만약 <math>K=\mathbb C</math>이며, 그 자기 동형이 복소수 켤레이며, <math>V</math>가 <math>(p+q)</math>차원 [[복소수 벡터 공간]]이며, <math>Q</math>의 [[계량 부호수]]가 <math>(p,q)</math>라면, 이는 <math>\operatorname{SU}(p,q)</math>라고 쓴다.

=== 리 대수 ===
<math>\operatorname{SU}(n;K)</math>의 [[리 대수]]
:<math>\mathfrak{su}(n;K) = \{M\in\mathfrak{gl}(n;K)\colon M^\dagger = -M\}</math>
은 <math>n\times n</math> 반에르미트 행렬들로 구성된다. 여기서 <math>M^\dagger = (\bar M)^\top = \overline{M^\top}</math>은 <math>M</math>에 각 성분로 켤레를 가한 뒤 [[전치 행렬]]을 취한 것이다.

특히, <math>\mathfrak{su}(2)</math>는 [[파울리 행렬]]로 생성되며, <math>\mathfrak{su}(3)</math>는 [[겔만 행렬]]로 생성된다.

=== SU*(2''n'') ===
<math>\mathfrak{su}(2n;\mathbb C)</math>의 경우, <math>\mathfrak{su}^*(2n)</math> 또는 <math>\mathfrak{sl}(n;\mathbb H)</math>로 표기되는 특별한 실수 형태가 존재한다. 이는 구체적으로 다음과 같다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위에 [[심플렉틱 구조]]
:<math>\Omega \in\operatorname{GL}(V;K)</math>
:<math>\Omega^2 = -1</math>
:<math>\Omega = -\Omega^\top</math>
가 주어졌다고 하자. (만약 <math>V</math>가 유한 차원일 때, <math>V</math>는 짝수 차원이 되며, 적절한 [[기저 (선형대수학)|기저]]에서 <math>\Omega</math>를
:<math>\Omega = \begin{pmatrix}
0_{n\times n}&1_{n\times n}\\
-1_{n\times n}&0_{n\times n}
\end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2n;K)</math>
의 꼴로 놓을 수 있다.) 그렇다면, 다음과 같은 [[리 군]]을 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname U^*(2n) = \{M\in\operatorname{GL}(2n;\mathbb C)\colon \bar M\Omega = \Omega M\}</math>
:<math>\operatorname{SU}^*(2n) = \operatorname U^*(2n) \cap \operatorname{SL}(2n;\mathbb C)</math>
만약 <math>K = \mathbb C</math>일 때, <math>\operatorname{SU}^*(2n)</math>의 [[실수 리 대수]]는 <math>\mathfrak{su}(2n)\otimes_{\mathbb R}\mathbb C</math>의 실수 형태이다.

<math>K=\mathbb C</math>일 때, 이 구성은 [[사원수]]로 적을 수 있다. 우선, [[사원수 벡터 공간]] <math>\mathbb H^n</math> 위의 사원수 [[선형 변환]]의 [[리 군]]
:<math>\operatorname{GL}(n;\mathbb H) = \operatorname{Aut}_{\mathbb H}(\mathbb H^n) = \operatorname U^*(2n)</math>
을 생각하자. 이는 실수 <math>4n^2</math>차원의 [[리 군]]이다. 이제, 임의의
:<math>\iota \in \{q\in\mathbb H\colon q^2 = -1,\;\bar q=-q\} = \{v_1\mathrm i+v_2\mathrm j+v_3\mathrm k\colon v_1^2+v_2^2+v_3^2=1\}</math>
는 <math>\mathbb H</math>의 [[복소구조]]
:<math>j \colon q \mapsto \iota q</math>
를 정의하며, 이 복소구조에 대하여
:<math>\operatorname{SL}(n;\mathbb H)=\operatorname{GL}(n;\mathbb H) \cap \operatorname{SL}(2n;\mathbb C) = \operatorname{SU}^*(2n)</math>
를 정의할 수 있다. 이 정의는 <math>\iota</math>의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

== 성질 ==
=== 군론적 성질 ===
특수 유니터리 군의 [[군의 중심|중심]]은 다음과 같은 [[순환군]]이다.
:<math>\operatorname Z(\operatorname{SU}(n))=\{\exp(2\pi ik/n)1_{n\times n}\colon k=0,1,\dots,n-1\}\cong\mathbb Z/n</math>
중심에 대한 [[몫군]]을 '''사영 특수 유니터리 군'''({{llang|en|projective special unitary group}})이라고 한다.
:<math>1\to\mathbb Z/n\cong\operatorname Z(\operatorname{SU}(n))\to\operatorname{SU}(n)\to\operatorname{PSU}(n)\to1</math>

=== 리 이론적 성질 ===
특수 유니터리 군 <math>\operatorname{SU}(n)</math> 은 <math>n^2-1</math>차원 [[단순 리 군]]이며, 계수는 <math>n-1</math>이다. 단순 리 군의 분류에 따른 표기는 <math>A_{n-1}</math>이며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.
:<math>\bullet-\bullet-\cdots-\bullet</math>
특수 유니터리 군의 [[극대 원환면]]은 다음과 같다.
:<math>\left\{\operatorname{diag}\left(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_{n-1},\prod_{i=1}^{n-1}\lambda_i^{-1}\right)\colon\lambda_1,\dots,\lambda_{n-1}\in\operatorname U(1)\right\}\subset\operatorname{SU}(n)</math>
특수 유니터리 군의 [[바일 군]]은 다음과 같은 [[대칭군 (군론)|대칭군]]이다.
:<math>\operatorname{Weyl}(\operatorname{SU}(n))=\operatorname{Sym}(n)</math>
대칭군 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 <math>n</math>차원 순열 표현({{llang|en|permutation representation}}) 및 그 부분 표현인 <math>n-1</math>차원의 표준 표현({{llang|en|standard representation}})을 갖는다. 특수 유니터리 군의 바일 군은 <math>n</math>차원 공간의 기저에 순열 표현으로서 작용하고, 극대 원환면의 기저에는 표준 표현으로 작용한다.

=== 위상수학적 성질 ===
<math>\operatorname{SU}(n)</math>은 [[콤팩트 공간]]이며 [[연결 공간]]이며 [[단일 연결 공간]]이다.

<math>\operatorname{SU}(2)</math>는 3차원 [[초구]] <math>\mathbb S^3</math>와 [[위상동형]]이다.

=== 포함 관계 ===
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
* <math>\operatorname{SO}(2n)\supset\operatorname{SU}(n)</math>. 이는 복소수를 2×2 실수 행렬로 간주한 것이다. 이는 <math>\operatorname{SO}(2n)</math> [[딘킨 도표]]에서 <math>\circ</math>로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
*: <math>\overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^{n-3}-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet\qquad\to\qquad\overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^{n-3}-\bullet-\bullet</math>
* <math>\operatorname{SU}(n)\supset\operatorname{SO}(n)</math>. 이는 실수 <math>n\times n</math> 행렬을 복소수 <math>n\times n</math> 행렬의 특수한 경우로 간주한 것이다.
* <math>\operatorname{SU}(n+1)\supset\operatorname{U}(n)</math>. 이는 <math>\operatorname{SU}(n+1)</math> [[딘킨 도표]]에서 <math>\circ</math>로 표시한 한 꼭짓점을 제거하여 얻는다.
*: <math>\overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^n-\circ\qquad\to\qquad\overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^n</math>
* <math>\operatorname{SU}(2n)\supset\operatorname{USp}(2n)</math>. 이는 <math>\operatorname{SU}(2n)</math>의 [[딘킨 도표]]를 반으로 접어서 얻는다.
*: <math>\overbrace{{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet\atop\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}}^{n-1}\rangle\bullet\qquad\to\qquad\overbrace{\bullet-\bullet-\cdots-\bullet}^{n-1}\Leftarrow\bullet</math>
* <math>E_7\supset\operatorname{SU}(8)/(\mathbb Z/2)</math>.<ref name="Yokota"/>{{rp|§4.12}} 이는 E<sub>7</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표시한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*: <math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad {\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad{\scriptstyle\otimes}-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet</math>
* <math>E_8\supset\operatorname{SU}(9)/(\mathbb Z/3)</math>.<ref name="Yokota">{{저널 인용|제목=Exceptional Lie groups|이름=Ichiro|성=Yokota|arxiv=0902.0431|bibcode=2009arXiv0902.0431Y|날짜=2009-02|언어=en}}</ref>{{rp|§5.11}} 이는 E<sub>8</sub>의 <math>\mathbb Z/3</math> [[자기 동형]]에 의하여 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다. 이는 E<sub>8</sub> [[딘킨 도표]]에서, <math>\scriptstyle\otimes</math>로 표시한 꼭짓점을 추가하여 [[아핀 딘킨 도표]]로 만든 뒤, 흰 색의 꼭짓점 <math>\circ</math>을 제거하여 얻는다.
*: <math>\bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet\qquad\to\qquad \bullet-\bullet-\overset{{\displaystyle\circ\atop\displaystyle|}}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}\qquad\to\qquad\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-{\scriptstyle\otimes}</math>
* <math>G_2\supset\operatorname{SU}(3)</math>

=== 예외적 동형 ===
낮은 차수의 특수 유니터리 군에 대하여, 다음과 같은 '''예외적 동형'''({{llang|en|exceptional isomorphism}})이 성립한다.
:<math>\operatorname{SU}(1)\cong1</math>
:<math>\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{Spin}(3)</math>
:<math>\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)</math>
:<math>\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{Spin}(4)</math>
:<math>\left(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\right)/(\mathbb Z/2)\cong\operatorname{SO}(4)</math>
:<math>\operatorname{SU}(4)\cong\operatorname{Spin}(6)</math>
:<math>\operatorname{SU}(4)/(\mathbb Z/2)\cong\operatorname{SO}(6)</math>
:<math>\operatorname{PSU}(4)\cong\operatorname{PSO}(6)</math>

=== 표현론 ===
<math>\operatorname{SU}(n)</math>의 유한 차원 연속 표현들은 [[영 타블로]]에 의하여 분류된다. 이 경우, '''정의 표현'''({{llang|en|defining representation}}) <math>\square</math>은 <math>n</math>차원 표현이며, 그 켤레 <math>\bar\square</math> 역시 <math>n</math>차원 표현이다. 또한, <math>n^2-1</math>차원 딸림 표현이 항상 존재한다.

<math>\operatorname{SU}(2)</math>의 표현들은 매우 간단하며, 반정수 <math>j\in\tfrac12\mathbb Z</math>에 의하여 분류된다. 이를 표현의 '''[[스핀]]'''이라고 한다. 표현들의 텐서곱의 분해는 [[클렙슈-고르단 계수]]에 의하여 정해진다.

== 응용 ==
SU(n)은 [[입자물리학]]의 [[표준 모형]]에서 쓰인다. [[SU(2)]]는 [[약전자기력]]에, SU(3)은 [[양자 색역학]]에 쓰인다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SpecialUnitaryGroup|title=Special unitary group}}
* {{매스월드|id=ProjectiveSpecialUnitaryGroup|title=Projective special unitary group}}
* {{nlab|id=special unitary group|title=Special unitary group}}
* {{nlab|id=special unitary Lie algebra|title=Special unitary Lie algebra}}

== 같이 보기 ==
* [[SU(2)]]
* [[유니터리 군]]
* [[직교군]]
* [[심플렉틱 군]]

[[분류:리 군]]
[[분류:수리물리학]]