특성곡선법 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''특성곡선법'''(特性曲線法, {{llang|en|method of characteristics}})은 1차 [[편미분 방정식]]을 연립 1차 [[상미분 방정식]]으로 환원하여 푸는 방법이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E,F\twoheadrightarrow M</math>
* <math>M</math> 위의 <math>k</math>차 [[미분 연산자]] <math>D\colon\Gamma^\infty(M,E)\to\Gamma^\infty(M,F)</math>
<math>D</math>의 [[주표상]]이 국소 좌표계에서
:<math>\sigma_D(x,v)=P^{\mu_1\dotso\mu_k}v_{\mu_1}\dotsm v_{\mu_k}\qquad\left(x\in M,\;v\in\mathrm T^*_xM,\;P^{\mu_1\dotso\mu_k}\in\operatorname{GL}(E_x,F_x;\mathbb R)\right)</math>
라고 하자. 이는 [[벡터 다발 사상]]
:<math>\sigma_D\colon E\otimes\operatorname{Sym}^k(\mathrm T^*\!M)\to F</math>
를 정의한다. (<math>\operatorname{Sym}^k</math>는 올별 <math>k</math>차 [[대칭 대수]] [[벡터 다발]]이다.) 이 [[벡터 다발 사상]]의 [[핵 (수학)|핵]], 즉
:<math>\ker\sigma_D=\left\{(x,u)\in\Gamma^\infty(E\otimes\operatorname{Sym}^k(\mathrm T^*\!M)\colon \sigma_D(x,u)=0\right\}\subseteq E\otimes\operatorname{Sym}^k(\mathrm T^*\!M)</math>
을 <math>s</math>의 '''특성점'''의 집합이라고 한다.

임의의 실수 값 [[매끄러운 함수]]
:<math>h\colon M\to\mathbb R</math>
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 <math>t\in\mathbb R</math>에 대하여 <math>h^{-1}(t)</math>는 (적절한 조건 아래) <math>n-1</math>차원 초곡면을 이룬다. 만약
:<math>\sigma_D(x,\mathrm dh|_x)=0</math>
일 경우, 각 <math>h^{-1}(t)</math>를 <math>D</math>의 '''특성 초곡면'''({{llang|en|characteristic hypersurface}})이라고 한다. 만약 <Math>n=2</math>일 경우 이는 <math>D</math>의 '''특성 곡선'''({{llang|en|characteristic curve}})이라고 하며, <math>n=3</math>일 경우 '''특성 곡면'''({{llang|en|characteristic surface}})이라고 한다.

== 예 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 [[벡터장]]
:<math>X\in\Gamma^\infty(\mathrm TM)</math>
이 주어졌다고 하자. 이에 대한 [[미분 연산자]]
:<math>D=\nabla_X\colon\mathcal C^\infty(\mathbb R)\to\mathcal C^\infty(\mathbb R)</math>
를 생각하자. <math>D</math>의 특성 초곡면을 정의하는 함수 <math>h\colon M\to\mathbb R</math>는
:<math>\langle X,\mathrm dh\rangle = 0</math>
을 만족시킨다.

예를 들어, 편의상 [[준 리만 계량]] <math>g</math>를 부여하였을 때, 임의의 곡선 <math>\gamma\colon \mathbb R\to M</math>에 대하여, 그 상이 특성 곡선을 이룰 조건은
:<math>g(X,\dot\gamma)=0</math>
인 것이다. 이는 1차 [[상미분 방정식]]이다.

매우 구체적으로, <math>M=\mathbb R^2=\{(x,y)\colon x,y\in\mathbb R\}</math>이며 <math>X=p\partial_x+q\partial_y</math>라고 하자. 그렇다면 특성 곡선들은
:<math>h(x,y)=qx-py</math>
로 정의되는 직선족 <math>(h^{-1}(t))_{t\in\mathbb R}</math>이다.

== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|제목=The Lagrange–Charpit Method|이름=Manuel|성=Delgado|저널=Society for Industrial and Applied Mathematics Review|권=39|호=2|날짜=1997-07|쪽=298–304|jstor=2133111|doi=10.1137/S0036144595293534|issn=0036-1445 |언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Characteristic}}
* {{eom|title=Characteristic surface}}
* {{eom|title=Method of characteristics}}
* {{매스월드|id=Characteristic|title=Characteristic}}
* {{웹 인용|url=http://www.maa.org/node/115396|제목=The method of characteristics & conservation laws|이름=Scott A.|성=Sarra|저널=Journal of Online Mathematics and its Applications|권=3|날짜=2003-02|언어=en|확인날짜=2014-10-04|archive-date=2014-10-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20141006150149/http://www.maa.org/node/115396|url-status=}}

{{전거 통제}}

[[분류:편미분 방정식]]