토브-너트 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[일반 상대성 이론]]에서 '''토브-너트 공간'''(-空間, {{llang|en|Taub–NUT space}} {{IPA|[tɔːb nʌt speɪs]}})은 [[아인슈타인 방정식]]의 4차원 진공해이며, 특히 4차원 [[초켈러 다양체]]이자 [[점근 국소 평탄 공간]]이다. 이 해는 여러 매우 특이한 성질들을 가진다.<ref>{{서적 인용|url=http://hdl.handle.net/10012/1264 | 제목=Taub-NUT Spacetime in the(A)dS/CFT and M-Theory | 이름=Richard|성=Clarkson|기타=박사 학위 논문|출판사=University of Waterloo|날짜=2005|bibcode=2005PhDT........18C|언어=en}}
</ref>

== 정의 ==
토브-너트 공간은 4차원 비콤팩트 [[초켈러 다양체]]이며, <math>\mathbb R^4</math>와 [[미분 동형]]이다.<ref name="Witten"/>{{rp|§2.3}} 이는 다양한 방법으로 구성할 수 있다.

=== 기번스-호킹 가설 풀이를 통한 구성 ===
그 위의 계량은 [[기번스-호킹 가설 풀이]]로 다음과 같이 주어진다. 우선, 좌표
:<math>\tau\in\mathbb R / (4\pi\mathbb Z)</math>
:<math>\vec r \in \mathbb R^3</math>
를 정의하자. 그렇다면, 토브-너트 공간의 계량은 다음과 같다.
:<math>\mathrm ds^2 = V(|\vec r|) \mathrm d\vec r^2 + \frac1{V(|\vec r|)} (\mathrm d\tau+\omega)^2</math>
:<math>V(|\vec r|) = L + \frac1{2|\vec r|}</math>
여기서
:<math>\omega = \vec\omega \cdot \mathrm d\vec r \in \Omega^1(\mathbb R^3)</math>
는 <math>\mathbb R^3</math> 위의 [[1차 미분 형식]] 가운데
:<math>\mathrm d\omega = \star \mathrm dV</math>
인 것이다. 이는 사실 <math>\mathbb S^3</math> 위의 [[1차 미분 형식]]으로 확장될 수 있다. <math>L</math>과 <math>M</math>은 상수이다. 여기서 <math>L</math>은 무한대에서 호프 원다발의 올의 크기 <math>4\pi/\sqrt L</math>를 결정하는 상수이다.

[[일반 상대성 이론]]에서는 이 해를 로런츠 [[계량 부호수]] &minus;+++로 [[해석적 연속]]을 취할 수 있다. 이는 <math>\tau \mapsto \mathrm it</math>의 치환에 해당한다.

보다 일반적으로, <math>V</math>를
:<math>V(\vec r) = L + \sum_{i=1}^N \frac1{2|\vec r-\vec R_i|}</math>
로 치환한다면, 여러 개의 토브-너트들이 공존하는 '''다중 토브-너트 공간'''({{llang|en|multi-Taub–NUT space}})을 얻는다. 이는 A형 [[점근 국소 평탄 공간]]에 해당한다.

=== 초켈러 축소를 통한 구성 ===
토브-너트 공간은 [[심플렉틱 몫공간]] 연산을 통해 정의할 수 있다.<ref>{{저널 인용|제목=Hyperkähler structure of the Taub–NUT metric|doi=10.1142/S1402925112500143|저널=Journal of Nonlinear Mathematical Physics|권=19|호=2|날짜=2012|쪽=226–235|이름= G.|성=Gaeta|공저자=M. A. Rodríguez}}</ref><ref name="Witten"/>{{rp|§2.5}}

구체적으로, 초켈러 공간
:<math>\mathbb R^4 \times \mathbb R^3 \times \frac{\mathbb R}{\beta\mathbb Z}</math>
위에서 [[U(1)]]의 작용을 생각하자. 구체적으로, 평탄한 [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^4</math> 위의 적절한 좌표계 <math>(\vec r=(r_1,r_2,r_3),\,\psi)</math>에서 평탄한 리만 계량은 [[기번스-호킹 가설 풀이]]로 다음과 같다.
:<math>\mathrm ds^2 = \frac1{|\vec r|} \mathrm d\vec r^2 + |\vec r|\left(\mathrm d\psi + \vec\omega\cdot\vec\mathrm dr\right)</math>
여기서 <math>\psi\sim\psi+4\pi</math>이며,
:<math>\vec\omega = (\omega_1,\omega_2,\omega_3)</math>
은
:<math>\epsilon_i{}^{jk}\partial_j \omega_k = \partial_i \frac1{|\vec r|}</math>
을 따른다. 즉, [[미분 형식]] 표기법으로는
:<math>\omega = \omega_i \mathrm dr^i</math>
:<math>\star\mathrm d\omega = \mathrm d\frac1{|\vec r|}</math>
이다. 마찬가지로, <math>\mathbb R^3 \times \mathbb S^1</math> 위의 좌표를 <math>(\vec x=(x_1,x_2,x_3),\,\theta)</math>라고 하자. 그 위의 [[리만 계량]]은
:<math>\mathrm ds^2 = L\mathrm d\vec x^2 + L^{-1} \mathrm d\theta^2</math>
:<math>\beta = 4\pi L^{-1/2} </math>
이며, <math>\theta \sim \theta + 4\pi</math>이다. 이 위에 U(1)의 작용은
:<math>\exp(\mathrm it)\colon (\psi,\theta) \mapsto (\psi+t,\theta+t)</math>
이며, 초켈러 운동량 사상은
:<math>\vec\mu = \vec r + \vec x</math>
이다.

초켈러 운동량 사상에 대한 0의 [[원상 (수학)|원상]]은 <math>\vec r = -\vec x</math>에 해당한다. 즉, 게이지 불변 좌표 <math>\chi = \psi-\theta</math>를 정의하며 원상의 좌표는
:<math>\mathrm ds^2 = V(\vec r) \mathrm d\vec r^2 + V(\vec r)^{-1} (\mathrm d\chi + \vec\omega\cdot\mathrm d\vec r)^2+ (r+\lambda^2)
\left(\mathrm d\theta + \frac {|\vec r|}{|\vec r|+L^{-1}} \left(\mathrm d\chi + \vec\omega\cdot\mathrm d\vec r\right)\right)^2
</math>
:<math>V(\vec r) = \frac1{|\vec r|} + L</math>
이다. U(1) 게이지 변환에 대한 동치류를 취하려면, [[킬링 벡터장]] <math>\partial/\partial\theta</math>에 대한 직교 성분을 취해야 하므로, 마지막 항을 생략하는 것에 해당한다. 즉, 구체적 계량
:<math>\mathrm ds^2 = V(\vec r) \mathrm d\vec r^2 + V(\vec r)^{-1} (\mathrm d\chi + \vec\omega\cdot\mathrm d\vec r)^2+ (r+\lambda^2)</math>
을 얻는다.

=== 남 방정식을 통한 구성 ===
[[파일:Taub–NUT space bow diagram.svg|thumb|right|토브-너트 공간을 정의하는 활 그림({{llang|en|bow diagram}})]]
토브-너트 공간은 활 그림({{llang|en|bow diagram}})으로 구성할 수 있다.<ref>{{저널 인용|성=Cherkis|이름=Sergey A.|제목=Instantons on the Taub–NUT space|arxiv=0902.4724|언어=en}}</ref>{{rp|§3}} 구체적으로, 이에 대응되는 활은 다음과 같다.
* 하나의 구간과 하나의 변으로 구성된다.
* 구간의 길이는 <math>L</math> ([[기번스-호킹 가설 풀이]]에서 퍼텐셜의 상수항)이다.
* 구간 위의 [[벡터 다발]]의 차원은 1이다. (즉, [[선다발]]이다.)

즉, 그 해는 [[남 방정식]]
:<math>T_0,T_1,T_2,T_3\colon[-L/2,L/2] \to \mathbb R</math>
:<math>\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm ds} - \mathrm iT_0\right) \vec T(s) = 0</math>
및 복소수
:<math>B_0,B_1 \in \mathbb C</math>
로 정의된다. <math>B_0,B_1</math>은 [[선다발]]의, 구간 양끝의 올 사이의 (쌍방향의) [[선형 변환]]에 해당한다.

이 위에는 [[게이지 군]]
:<math>\mathcal C^\infty([-L/2,L/2], \operatorname U(1))</math>
이 작용한다. 게이지 군의 원소
:<math>g\colon [-L/2,L/2] \to \operatorname U(1)</math>
는 다음과 같이 작용한다.
:<math>T_0 \mapsto g^{-1}T_0g + \mathrm ig^{-1}\dot g</math>
:<math>T_i \mapsto g^{-1}T_ig</math>
:<math>B_0 \mapsto g^{-1}(-L/2)B_0g(l/2)</math>
:<math>B_1 \mapsto g^{-1}(L/2)B_0g(-l/2)</math>
이를 사용하여, 게이지 퍼텐셜 <math>T_0</math>을 [[상수 함수]]로 놓을 수 있다. 그렇다면, [[남 방정식]]에 따라서 <math>T_1,T_2,T_3</math> 역시 [[상수 함수]]가 된다.
:<math>\underbrace{\mathbb S^1 \times \mathbb R^3}_{(T_0,T_1,T_2,T_3)} \times \underbrace{\mathbb R^4}_{B_0,B_1} /\!/\!/ \operatorname U(1)</math>
즉, 이는 <math>\mathbb R^4 \times \mathbb R^3 \times \mathbb S^1</math>의 초켈러 축소로 귀결된다.

== 성질 ==
=== 점근적 형태 ===
토브-너트 계량은 [[점근 국소 평탄 공간]]이다. 즉, <math>|\vec r|\to\infty</math> 극한에서, 토브-너트 계량은 <math>\mathbb S^1 \times \mathbb R^3</math>의 꼴을 가진다. <math>\mathbb R^3</math>의 무한인 <math>\mathbb S^2</math> 위에서, <math>\mathbb S^1</math>은 [[호프 올뭉치]]의 꼴을 하며, 따라서 등각 무한의 위상은 사실 <math>\mathbb S^3</math>가 된다. 이 경우, <math>\mathbb S^1</math>은 무한대에서 유한한 크기를 갖는다.

다중 토브-너트 공간도 마찬가지로 [[점근 국소 평탄 공간]]을 이루며, 이 경우 일반적으로 등각 무한은
:<math>\mathbb S^3 / \operatorname{Cyc}(n)
= \frac{\{(z,w)\in\mathbb C^2 \colon |z|^2+|w|^2= 1 \}}{(z,w)\sim(tz,tw)\quad(t^n = 1)}
</math>
의 꼴이다. 이들은 역시 올다발
:<math>\mathbb S^1 \hookrightarrow \mathbb S^3 / \operatorname{Cyc}(n) \twoheadrightarrow \mathbb S^2</math>
:<math>[(z,w)] \mapsto (|z|^2-|w|^2,2z\bar w)</math>
를 구성한다.

=== 극한 ===
<math>L \to 0</math> 극한을 취하면, 이 해들은 [[점근 국소 유클리드 공간]]을 이룬다. 이 경우 마찬가지로 ALE 분류가 존재하며, 가장 간단한 경우는 [[에구치-핸슨 공간]]이다.

=== 대칭 ===
토브-너트 공간의 등거리 대칭군은
:<math>\operatorname U(2) \cong \frac{\operatorname U(1) \times \operatorname{SU}(2)}{\operatorname{Cyc}(2)}</math>
이다.<ref name="GH79"/>{{rp|296, §3}} 여기서 <math>\operatorname{SU}(2)</math>는
:<math>\operatorname{SO}(4) = \frac{\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)}{\operatorname{Cyc}(2)}</math>
의 한 [[부분군]]이며, 구체적으로 <math>\mathbb S^3</math>의 [[SO(4)]] 회전 가운데 <math>\omega</math>를 보존하는 것들이다. 즉, 토브-너트 공간은 4개의 [[킬링 벡터장]]을 갖는다.

이 대칭군은 토브-너트 공간 위에 [[추이적 작용]]을 가지므로, 토브-너트 공간은 동질 공간({{llang|en|homogeneous space}})이다. 즉, 모든 점이 다 똑같이 보인다. 그러나 토브-너트 공간은 등방적({{lang|en|isotropic}})이지 못하다. 즉, 주어진 점에서부터 서로 다른 방향들이 다르게 보인다.

SO(2) 대칭 아래서, 토브-너트 공간은 하나의 고정점을 가지며, 이는 고정점의 분류에서 (1,1)차 [[너트와 볼트|너트]]에 해당한다.<ref name="GH79">{{저널 인용|제목=Classification of gravitational instanton symmetries|이름=Gary W.|성=Gibbons|저자링크=게리 기번스|이름2=Stephen|성2=Hawking|저자링크2=스티븐 호킹|저널=Communications in Mathematical Physics|mr=535152|doi=10.1007/BF01197189|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103905051|날짜=1979-10|권=66|호=3|쪽=291–310|언어=en}}</ref> 반대로, [[너트와 볼트|볼트]]는 존재하지 않는다.

일반적 다중 토브-너트 공간의 대칭군은 <math>N\ge3</math>일 때 O(2)이며, 이에 대한 고정점들은 모두 [[너트와 볼트|너트]]이다. 이는 [[기번스-호킹 가설 풀이]]의 퍼텐셜의 <math>N</math>개의 특이점들에 해당한다. <math>N=2</math>일 때는 대칭군은 U(1)×U(1)이며, 둘째 U(1)은 두 너트를 통과하는 축을 중심으로 하는 회전이다.

== 역사 ==
[[파일:Abraham_Taub.jpg|thumb|right|에이브러햄 토브 (1968년 사진)]]
에이브러햄 해스켈 토브({{llang|en|Abraham Haskel Taub}}, 1911〜1999)가 1951년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용 | last=Taub | first=Abraham Haskel | title=Empty space-times admitting a three parameter group of motions | mr=0041565 | zbl=1063.83525 | 날짜=1951-05 | 저널=Annals of Mathematics| issn=0003-486X | volume=53 | pages=472–490|doi=10.2307/1969567|jstor=1969567|언어=en}}</ref>{{rp|§7}}<ref>{{저널 인용|제목=Editor's Note: Empty Space-Times Admitting a Three Parameter Group of Motions, by A. H. Taub|이름=M.|성=MacCallum|저널=General Relativity and Gravitation|날짜=2004-12|권=36|호=12|쪽=2689–2697|doi=10.1023/B:GERG.0000048983.98096.30|bibcode=2004GReGr..36.2689M|zbl=1063.83523|issn=0001-7701}}
</ref> 에즈라 시어도어 뉴먼({{llang|en|Ezra Theodore Newman}}, 1929〜)과 루이스 탐부리노({{llang|en|Louis A. Tamburino}}), 시어도어 운티({{llang|en|Theodore Unti}})가 1963년에 토브의 해를 특이점을 넘겨 연장시켰다.<ref>{{저널 인용 |last=Newman | first=Ezra Theodore| 이름2=Louis A.|성2= Tamburino|이름3=Theodore |성3=Unti | title=Empty-space generalization of the Schwarzschild metric | doi=10.1063/1.1704018 | mr=0152345 | zbl=115.43305|bibcode=1963JMP.....4..915N | 날짜=1963-07 | journal=Journal of Mathematical Physics | issn=0022-2488 | volume=4|호=7 | pages=915–923|언어=en}}</ref>

로런츠 부호수의 토브-너트 공간은 여러 기묘한 성질을 보이며, 이 때문에 찰스 미스너({{llang|en|Charles W. Misner}}, 1932〜)는 “토브-너트 공간은 거의 모든 명제에 대한 예외”라는 제목의 논문을 쓰기도 했다.<ref name="Misner">{{서적 인용|제목=Taub–NUT space as a counterexample to almost anything|이름= Charles W.|성=Misner|url=https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19660007407.pdf|총서=Technical Report|권=529|출판사=University of Maryland|날짜=1965-11|언어=en}}</ref>

다중 토브-너트 공간은 [[스티븐 호킹]]이 1977년에 발견하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Gravitational instantons|이름=Stephen W.|성=Hawking|저자링크=스티븐 호킹|날짜=1977-02-07|저널=Physics Letters A|권=60|호=2|쪽=81–83|doi=10.1016/0375-9601(77)90386-3 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Gravitational multi-instantons|이름=Gary W.|성=Gibbons|저자링크=게리 기번스|이름2=Stephen W.|성2=Hawking|저자링크2=스티븐 호킹|저널=Physics Letters B|권=78|호=4|쪽=430–432|날짜=1978-10-09|doi=10.1016/0370-2693(78)90478-1 |언어=en}}</ref>

== 응용 ==
토브-너트 공간은 [[초켈러 다양체]]이므로, [[끈 이론]]에서 매우 중요한 역할을 한다. 특히, [[M이론]]에서 [[D6-막]]은 토브-너트 공간으로 표현된다. 구체적으로, ⅡA종 초끈 이론에서, 어떤 7차원 [[준 리만 다양체]] <math>M</math>이 주어졌을 때, <math>M\times\mathbb R^3</math>에서 <math>M</math>에 1개의 [[D6-막]]을 감은 상태는 [[M이론]]을 <math>M \times \operatorname{TN}</math> 위에 [[축소화]]한 것에 해당한다.<ref name="Witten">{{저널 인용|날짜=2009|저널=Journal of High Energy Physics|권=2009|호=6|쪽=67|doi=10.1088/1126-6708/2009/06/067|제목=Branes, instantons, and Taub-NUT spaces|이름=Edward|성=Witten|저자링크=에드워드 위튼|arxiv=0902.0948|bibcode=2009JHEP...06..067W|issn=1029-8479|언어=en}}</ref>{{rp|§3.4.3}} (여기서 TN은 토브-너트 공간을 뜻한다.) 여러 개의 D6-막을 감은 상태는 다중 토브-너트 공간에 해당한다.

로런츠 계량 부호수의 토브-너트 공간은 [[일반 상대성 이론]]의 해로 간주할 수 있다. 이 경우, 이 해는 여러 기묘한 성질을 가진다.<ref>{{저널 인용|제목=Physical interpretation of vacuum solutions of Einstein’s equations. Part Ⅰ. Time-independent solutions|이름=W. B.|성=Bonnor|저널=General Relativity and Gravitation|bibcode=1992GReGr..24..551B|doi=10.1007/BF00760137|권=24|호=5|쪽=551–574|날짜=1992-05|issn=0001-7701}}</ref>{{rp|567–568}}<ref name="Misner"/>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Taub-NUT space}}

[[분류:일반 상대성 이론의 엄밀해]]