토메 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''토메 함수'''({{llang|en|Thomae’s function}})는 [[디리클레 함수]]와 유사하게 정의된 함수의 하나이다.

== 정의 ==
'''토메 함수''' <math>f\colon\mathbb R\to\mathbb R</math>는 다음과 같다.
:<math>f(x)=\begin{cases}
\frac 1q & x=\frac pq,\;p,q\in\mathbb Z,\;\gcd\{p,q\}=1,\;q>0 \\
0 & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q
\end{cases}</math>

== 성질 ==
=== 연속성 ===
토메 함수 <math>f</math>는 모든 [[유리수]]점에서 [[연속 함수|불연속]]이며, 모든 [[무리수]]점에서 [[연속 함수|연속]]이다. 이는 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여,
:<math>\lim_{y\to x}f(y)=0</math>
이기 때문이다.
{{증명}}
임의의 <math>x\in\mathbb R</math> 및 <math>\epsilon>0</math>에 대하여, <math>\textstyle\frac 1n<\epsilon</math>인 양의 정수 <math>n\in\mathbb Z^+</math>를 취하자. 분모가 <math>\{1,\dots,n\}</math>에 속하는 분수로 나타낼 수 있는 [[유리수]]들의 집합을
:<math>A=\mathbb Z\cup\frac 12\mathbb Z\cup\cdots\cup\frac 1n\mathbb Z</math>
라고 하자. 그렇다면, <math>A</math> 속 임의의 서로 다른 두 점 사이의 거리는 <math>\textstyle\frac 1{n^2}</math> 이상이므로, <math>A</math>는 [[극한점]]을 갖지 않는다. 특히, <math>x</math>는 <math>A</math>의 [[극한점]]이 아니므로,
:<math>((x-\delta,x)\cup(x,x+\delta))\cap A=\varnothing</math>
인 <math>\delta>0</math>를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 <math>y\in(x-\delta,x)\cup(x,x+\delta)</math>에 대하여, <math>y</math>는 [[무리수]]이거나, <math>y</math>는 분모가 양의 정수인 기약 분수로 나타냈을 때 분모가 <math>n</math>보다 큰 [[유리수]]이므로,
:<math>|f(y)|=f(y)<\frac 1n<\epsilon</math>
이다.

만약 <math>x\in\mathbb Q</math>라면
:<math>\lim_{y\to x}f(y)=0\ne f(x)</math>
이므로 <math>x</math>에서 불연속이다. 만약 <math>x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>라면
:<math>\lim_{y\to x}f(y)=0=f(x)</math>
이므로 <math>x</math>에서 연속이다.
{{증명 끝}}

=== 극댓값 ===
토메 함수 <math>f</math>는 모든 [[유리수]]점에서 [[엄격 극댓값]]을 갖는다.
{{증명}}
임의의 <math>x\in\mathbb Q</math>에 대하여,
:<math>\lim_{y\to x}f(y)=0</math>
:<math>f(x)>0</math>
이므로,
:<math>f(y)<f(x)\qquad\forall y\in(x-\delta,x)\cup(x,x+\delta)</math>
인 <math>\delta>0</math>가 존재한다.
{{증명 끝}}

=== 미분 ===
토메 함수 <math>f</math>는 모든 점에서 [[미분 불가능]]이다.
{{증명}}
<math>f</math>는 모든 유리수점에서 불연속이므로 모든 유리수점에서 [[미분 불가능]]이다.

이제, 임의의 <math>x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>에 대하여, <math>x</math>의 소수점 표기를
:<math>x=x_0.x_1x_2\cdots</math>
라고 하고, 다음과 같은 [[유리수]] 수열 <math>(y_n)_{n=0}^\infty\subseteq\mathbb Q</math>을 취하자.
:<math>y_n=x_0.x_1x_2\cdots x_n</math>
그렇다면, <math>(y_n)_{n=0}^\infty</math>은 <math>x</math>로 수렴하며, 임의의 <math>n\ge 0</math>에 대하여,
:<math>\left|\frac{f(y_n)-f(x)}{y_n-x}\right|=\frac{f(y_n)}{0.0\cdots 0x_{n+1}x_{n+2}\cdots}\ge\frac{1/10^n}{1/10^n}=1</math>
이다. 따라서
:<math>\limsup_{y\to x}\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\ge\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{f(y_n)-f(x)}{y_n-x}\right|\ge\liminf_{n\to\infty}\left|\frac{f(y_n)-f(x)}{y_n-x}\right|\ge 1</math>
이다. 반면, <math>x</math>로 수렴하는 임의의 [[무리수]] 수열 <math>(z_n)_{n=0}^\infty\subseteq\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>을 취했을 경우, 임의의 <math>n\ge 0</math>에 대하여,
:<math>\left|\frac{f(z_n)-f(x)}{z_n-x}\right|=0</math>
이므로,
:<math>\liminf_{y\to x}\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|\le\lim_{n\to\infty}\left|\frac{f(z_n)-f(x)}{z_n-x}\right|=0</math>
이다. 따라서, 극한
:<math>\lim_{y\to\infty}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}</math>
은 존재하지 않는다.
{{증명 끝}}

=== 적분 ===
토메 함수 <math>f</math>는 임의의 닫힌구간 위에서 [[리만 적분]] 가능하다. 또한,
:<math>\int_{\mathbb R}f(x)dx=0</math>
이다.
{{증명}}
<math>f</math>의 불연속점의 집합 <math>\mathbb Q</math>는 [[가산 집합]]이므로 그 [[르베그 측도]]는 0이며, 따라서 <math>f</math>는 임의의 닫힌구간 위에서 [[리만 적분]] 가능하다. 닫힌구간의 임의의 분할에 대하여, 분할된 각 구간에서 [[무리수]]점을 취할 경우 [[리만 합]]은 0이 된다. 따라서 <math>f</math>의 닫힌구간에서의 적분은 0이며,
:<math>\int_{\mathbb R}f(x)dx=\lim_{a\to-\infty}\int_a^0f(x)dx+\lim_{b\to\infty}\int_0^bf(x)dx=0</math>
이다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
[[카를 요하네스 토메]]({{llang|de|Carl Johannes Thomae}})의 이름을 땄다.

== 같이 보기 ==
* [[칸토어 함수]]
* [[디리클레 함수]]
== 참고 문헌 ==
* Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert (1999), ''Introduction to Real Analysis, 3rd Edition'' (Example 5.1.6 (h)). Wiley. {{ISBN|978-0-471-32148-4}}
* Michael Spivak, Calculus on manifolds. 1965. Perseus Books. {{ISBN|0-8053-9021-9}}
* Abbot, Stephen. ''Understanding Analysis''. Berlin: Springer, 2001. {{ISBN|0-387-95060-5}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Dirichlet-function}}
* {{매스월드|id=DirichletFunction|제목=Dirichlet Function}}

[[분류:미적분학]]
[[분류:특수 함수]]